DIFFERENTES QUESTIONS SUR CE LIVRE V

428. Étant donnés deu?c points A et B situés d'un même côté d'un plan P, trouver sur ce plan un point tel que la somme de ses distances aux points A et B soit un minimum.

429. Étant donnés deux points A et B situés de part et d'autre d'un plan P, trouver sur ce plan un point tel que la différence de ses distances aux points A et B soit un maxi^ mum,

430. Étantdonnés une droite orj (/g". i7)et deux points A,B, non situés dans un même plan Fi^. 17.

avec la droite, trouver sur xy un point tel, que la somme de ses distances aux points A et B soit un minimum. (Par le point B menons un plan perpendiculaire à xy, qui coupe cette droite au point C, et du point C comme centre, avec le rayon CB, décrivons dans ce plan une circonférence, puis, par le point A et la droite xy, faisons

l68 QUESTIONS PROPOSÉES.

passer un plan qui coupe le plan perpendiculaire à xy^ suivant le diamètre DCE, et, en supposant A et D situés de part et d'autre de xyy menons la droite AD, qui coupe xy au point F : alors le point F sera le point cherché. Car la partie FD de la droite AFD est égale à FB, puisque xy est Taxe de la circonférence CB; donc AF-+-FB est un minimum.)

431. Étant donnés une droite xy et deux points A, B, non situés dans un même plan avec la droite, trouver sur xy un point tel, que la différence de ses distances aux points A et B soit un maximum. (Marche analogue à celle qu'on a suivie pour la question précédente.)

Fig. i8.

432. Étant données deux droites AB, CD {/Ig, i8), rectangulaires et non situées dans le même plan, quel est le lieu géométrique du milieu M d'une droite EF, de longueur constante, dont les extrémités sont assujetties à rester sur les droites AB et CD?

(Soient GH la plus courte distance des droites AB, CD, et K le milieu de GH, puis menons du point K deux droites K^, Kj, respectivement parallèles à AB et à CD, enfin menons EE' perpendiculaire à Kx et FF' perpendiculaire à Kj, joignons le point E' au point F', et le point K au point M, qui est situé sur E' F'. Cela posé, on fera voir que le point M est le milieu de E'F', et que E'F', hypoténuse du triangle rectangle KE'F', a une longueur constante; donc le lieu cherché est une circonférence qui a pour centre le point K et pour rayon la droite KM.)

433. Soient SABC un angle irièdre et ASa, BS6, CSc les angles que les arêtes SA, SB,SC font avec les faces opposées; démontrer que la somme de ces angles est moindre que la somme des trois faces ASB, BSC, CSA, et plus petite que la moitié de cette somme. (D'abord on a

AS«<ASB,BS6<BSC,CSc<CSA

et par suite

AS« -h BS6 + CSc < ASB -h BSC 4- CSA.