I I 2 QUESTIONS PROPOSÉES

khk. Les diagonales d'un parallélipipède reciangle sont égales. Réciproquement, si les diagonales d'un parallélipipède sont égales, ce parallélipipède est rectangle. (Pour démontrer cette réciproque, on peut remarquer que la pyramide, formée en joignant le point d'intersection des diagonales aux sommets d'une face quelconque ABCD, a une base inscriptible dans un cercle, et que, par suite, ABCD est un rectangle.)

yi.5. Dans tout prisme quadrangulaire, la somme des carrés des arêtes est égale à la somme des carrés des diagonales, plus huit fois le carré de la droite qui joint le milieu de deux de ces diagonales au milieu des deux autres. Application au parallélipipède.

4iSi-6. La somme des distances des sommets d'un parallélipipède à un plan, qui lui est extérieur, est égale à huit fois la distance du point d'intersection des diagonales au même plan.

4&>7. Quel est le lieu des points d'un plan, tels que la somme des carrés des distances de chacun d'eux aux som> mets d'un parallélipipède soit égale à un carré donné? Condition de possibilité du problème.

kk8. Construire un cube, connaissant sa diagonale.

4W. Couper un cube ABCDEFGH [Jig. 19) par un plan, de

manière que la section soit un hexagone régulier. (Faisant abstraction des six arêtes du cube partant des sommets D et F, par exemple, il reste les six arêtes AB, BC, CG, GH, HE, EA , et si l'on joint les points milieux consécutifs M, N, P, Q, H, S de ces arêtes, on aura l'hexagone cherché, i^ Cet hexagone a ses côtés dans un même plan; car les côtés MN, PQ prolongés se rencontrent en un même point K de l'arête DC.

2° On voit facilement que les côtés de l'hexagone sont

égaux.

3° Les angles sont aussi égaux; car l'angle MNP, par