CHAPITRE IL

§ I. — Angle de deux arcs de grand cercle et arcs de grand cercle

perpendiculatres entre eux.

616. Par Texlrémité A d'un arc de grand cercle, mener un second arc de grand cercle qui fasse avec le premier un angle donné.

617. Par un point pris hors d'une circonférence de grand cercle, mener un arc de grand cercle qui fasse avec la circonférence un angle donné. (Ce problème est résolu dans la Note 81 de nos Éléments,)

618. Lorsque deux petits cercles P, P', se coupent aux points A et B, Tare de grand cercle qui passe par les deux centres est perpendiculaire sur Je milieu de l'arc de grand cercle AB. (Car les points P, P' et le centre de la sphère étant également distants des points A et B, le plan OPP' est perpendiculaire sur le milieu de la droite AB ; par suite, il passe par le milieu de Tare AB et il est perpendiculaire sur le plan de cet arc. )

619. Étant donné un arc de grand cercle, mener un second arc de grand cercle perpendiculaire sur le milieu du premier.

620. Quel est le lieu des points de la sphère également distants des extrémités d'un arc de grand cercle donné.

621. Si une droite AT est tangente à un petit cercle au point A, elle est perpendiculaire au rayon OA de la sphère.

622. Tout grand cercle passant par les pôles, P, P', d'un petit cercle est perpendiculaire à ce petit cercle. (11 faut démontrer qu'une droite AT tangente au petit cercle est perpendiculaire à la droite AT' tangente au grand cercle.)

l5a QDKSTIOlfS PROPOSfiBS.

Remarque, — Réciproquement, si Tangle T'AT est droit, le plan qui passe par les deux droites AO^ AT', perpendiculaires à AT, contient le rayon AO' du petit cercle, et, par suite, il passe par les pôles P, P'.

^, II. — Triangles et polygones sphériques.

623. Si d*un point, pris dans l'intérieur d'un triangle sphérique, on mène deux arcs de grands cercles aux extrémités d'un côté, la somme de ces arcs sera moindre que la somme des deux autres côtés du triangle. £t, si Ton joint ce point aux trois sommets du triangle par trois arcs de grands cercles, la somme de ces arcs est moindre que le périmètre du triangle et plus grande que la moitié de ce périmètre.

62i. Dans un quadrilatère sphérique convexe, la somme des diagonales est plus grande que la somme de deux côtés opposés. De plus, la somme des diagonales est moindre que le périmètre du quadrilatère, mais elle est plus grande que la moitié de ce périmètre.

Obseroation, — La plupart des questions proposées jusqu'ici sur le Livre VIII sont extrêmement simples : leur principale utilité consiste à montrer de plus en plus les analogies qui existent entre la géométrie plane et la géométrie sphérique.

625. Étendre les propriétés des triangles polaires aux polygones sphériques convexes, de plus de trois côtés.

Sur la construction des triangles sphériques.

626. On peut construire un triangle sphérique ayant pour côtés trois arcs de grand cercle donnés a, b, c, si la somme de ces arcs est moindre qu'une circonférence de grand cercle 27r (le rayon de la sphère étant pris pourunité) et si le plus grand de ces arcs, a par exemple, est plus petit que la somme des deux autres.

Remarque. — Si Ton ne connaît pas le plus grand des arcs ^, è, c, qui doivent former un triangle, on remplace les conditions

a -h b -h c <i 2it et a<^b-i-c