Le lieu des sommets des triangles sphériques ABC qui

ont une base commune BC et dans lesquels l'angle au sommet diffère d'une quantité constante de la somme des angles à la base est une circonférence passant par les deux points B et C (Jig. 24 ) .

[Soient ABC l'un de ces triangles, P le pôle du cercle qui passe par les sommets A, B, C, et supposons d'abord que ce pôle

soit situé dans l'intérieur du triangle, on aura

A r= PAB -f- PAC = PB A -+- PCA == B — PBC -4- C - PCB , d'où l'on tire

2PBC=r:B-i-C — A.

Ainsi l'angle à la base du triangle isoscèle PBC a une valeur constante ; donc le point P est fixe, et par conséquent le lieu du sommet A est la circonférence de cercle décrite du point P comme pôle, avec le rayon sphérique PB.

LIVRB YIII. — CHAPITRE III. 167

Si le pôle P est situé hors du triangle, de l'autre côté de AB par rapport au point C ou de l'autre côté de AC par rapport au point By on a encbre

2PBC=:B-f-C— A.

Si le pôle P est situé hors du triangle, de l'autre côté de BC par rapport au point A, on a

2PBC=::A--(B-4-C)].

Remarque. — Le pôle P peut occuper deux positions symétriques par rapport au grand cercle BC, d'où il résulte que le lieu se compose aussi d'une seconde circonférence égale à la première.

643. Le lieu des sommets des triangles sphériques ABC de même base BC et de même surface est une circonférence de cercle passant par les points B' et C symétriques de B et C. (Soit ABC l'un des triangles; puisque Taire de ce triangle est une quantité fixe d, on a

A -+- B -f- C — 2 droits = d,

et, si Ton prolonge les ai;cs BA, CA jusqu'à leur rencontre avec la circonférence BC en B', C, les angles AB'C et AC'B' seront respectivement les suppléments des angles B et C ; donc on aura

B' -f-C — A=z 2. droits — $ ;

ainsi la question est ramenée à la précédente.)

Cette proposition est connue sous le nom de théorème de LexelL

QUESTIONS NUMÉRIQUES. — LIVRE I. iSg