SUR LES LIEUX GÉOMÉTRIQUES

On sait qu'on appelle lieu géométrique ou lieu une figure dont tous les points jouissent d'une même propriété.

Dans la Géométrie plane, un lieu se compose d'une ou plusieurs lignes, et, dans la Géométrie de l'espace, d'une ou plusieurs lignes ou bien d'une ou plusieurs surfaces.

Dans la Géométrie élémentaire on ne considère que des lieux plans composés de droites ou de circonférences et des lieux dans l'espace composés de droites, de plans ou de surfaces sphériques ; et il est à remarquer d'un autre côté que les lieux considérés sont, en général, des conséquences de théorèmes où l'on démontre : i'' que tout point d'une figure jouit d'une certaine propriété ; et, 2'', que touUpoint n'appartenant pas à la figure ne jouit pas de cette propriété, ou bien que tout point jouissant de la propriété en question est situé sur la figure. Quelquefois aussi on commence par faire voir que tout point d'un lieu appartient à telle figure, et que tout point de cette figure est un point du lieu.

Lorsqu'il s'agit de trouver un lieu géométrique, un lieu plan, par exemple, on peut procéder de deux manières.

Première manière, — Par diverses considérations et surtout en construisant quelques points du lieu, convenablement choisis, on cherche à déterminer si ce lieu se compose de droites ou de circonférences; ainsi, lorsqu'on reconnaît que le lieu a des points à l'infini, il ne peut pas se composer de circonférences. De plus, en supposant que le lieu cherché soit une ligne droite, par exemple, on tâche de découvrir quelle est la position de cette droite, et alors la question revient, comme dans les ^/ementSy à démontrer un théorème, puis sa réciproque ou la proposition contraire.

Seconde manière, — Lorsqu'on a déterminé un certain nombre de lieux

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géométriques, on cherche à faire voir qu'un lieu demandé revient à la détermination d'un lieu connu.

Il est donc important que les élèves constatent toujours avec soin quels sont les lieux qu'ils connaissent déjà, et cela nous engage à énumérer les lieux considérés dans le texte et dans les notes de nos Éléments de Géométrie, À la suite nous indiquerons aussi les questions de ce Recueil où il s'agit de trouver un lieu géométrique.

Lieux déterminés dans le texte des Éléments,

i . Le lieu des points d'un plan également distants d'un point fixe pris sur ce plan est une circonférence (24).

2. Le lieu des points d'un plan également distants des extrémités d'une droite située dans ce plan est la perpendiculaire élevée sur le milieu de cette droite (66, coroll.).

Cette perpendiculaire est aussi le lieu des points du plan tels, qu'en les joignant aux extrémités de la droite les deux nouvelles droites forment avec la première des angles égaux.

3. La bissectrice dun angle est le lieu des points situés dans l'intén rieur de l'angle et également distants de ses côt^ (114, coroll. U ).

Le lieu des points également distants de deux droites qui se coupent se compose de deux droites indéfinies^ bissectrices des angles formés par les premières droites (114, coroll. II).

4. Dans un cercle, le lieu des milieux des cordes parallèles à une droite donnée est le diamètre perpendiculaire à cette droite (137, coroll. I).

5. Dans un plan, le lieu géométrique des sommets de tous les triangles rectangles qui ont pour hypoténuse une même droite est la circonférence décrite sur cette droite comme diamètre (1Ï3).

6. Dans un plan, le lieu des points situés d'un môme côté de cette, droite, d'où Ton voit cette droite sous un angle donné, est Varc décrit sur la droite, capable de l'angle donné (178).

7. Dans l'espace, le lieu des points également distants des extrémités d'une droite est /^ /?/â'/i perpendiculaire sur le milieu.de la droite (320).

8. Dans l'espace, le lieu des points également distants de trois points donnés, non en ligne droite, est l'axe de la circonférence passant par ces trois points ( 323, conséq.).

9. Le pian bissecteur d'un angle dièdre est le lieu géométrique des points situés dans l'intérieur de cet angle et également distants de ses faces (397, coroll.).

lÀeux déterminés dans les Notes sur les Eléments,

1. Si Ton fait mouvoir un angle dans son plan, de manière que ses côtés passent constamment par deux points fixes, le lieu décrit par le sommet de Tangle est une circonférence (Note 15, théor. II et Rem. II).

2. Un angle ÂSB et un point D étant donnés, si Ton mène par ce point deux transversales quelconques DBÂ, D^a, et les droites Â6, Ba qui se coupent au point M, le lieu du point M est la polaire du point D par rapport à l'angle ASB (Note 37, p. 386, théor. H).

3. Si, par un point D, pris dans le plan d'un cercle 0, on mène une sécante quelconque DBA et qu'on détermine le conjugué harmonique C du point D, par rapport à la corde AB, le lieu géométrique du point C, lorsque la sécante tourne autour du point D, est une ligne droite perpendiculaire au diamètre ab qui passe par le point D.

4. Trouver le lieu des points tels que la somme des carrés de leurs distances à deux points fixes soit égale à un carré donné (Note 40, probl. I).

5. Trouver le lieu des points tels, que la différence d^s carrés de leurs distances à deux points fixes soit égale à un carré donné (Note 40, probl. n).

6. Le lieu des points d'égale puissance, par rapport à deux cercles donnés, est une droite perpendiculaire à la ligne des centres (Note 40, p. 408, théor. n).

7. L'axe radical de deux cercles qui n'ont aucun point commun ou qui sont tangents est le lieu des centres de tous les cercles qui coupent les deux premiers orthogonalement (Note 40, p. 4iOf ^°)'

8. Trouver le lieu des points dont les distances à deux points fixes sont entre elles dans un rapport donné (Note 42, p. 416, probl. I).

Questions de ce Recueil oà il s^agit de trouver des lieux géométriques.