CHAPITRE I

2 I. — Sur la mesure des droites.

133. Démontrer que la diagonale ÂC et le côté AB d'un carré ÂBCD sont deux lignes incommensurables^ en se fondant seulement sur le premier Livre.

Remarque, — Nous avons démontré cette proposition dans la Note 18 de nos Éléments^ en établissant d'abord que la surface du carré construit sur la diagonale ÂG est double de la surface du carré ABCD et en faisant voir ensuite que, si le rapport de la diagonale ÂC au côté ÂB était un

nombre commensurable — > ce nombre devrait être une fraction comprise

m^ entre i et 2 et que son carré -7 devrait être égal à 2, ce qui est impossible.

134. Démontrer que la diagonale ÂC et le côté ÂB d'un carré ABCD sont deux lignes incommensurables ^ en se fondant sur la recherche de la plus grande commune mesure de ces deux lignes.

Remarque, — Cette proposition est aussi démontrée dans la Note 21 de nos Éléments.

Si Ton porte AB ou 6C sur AC, on a

AC = BC-hEC;

d'ailleurs, d'après un lemme, le côté de l'angle droit d'un triangle rectangle et isoscèle contient deux fois la différence entre V hypoténuse et ce côté y plus un reste moindre que cette différence; donc, en portant le reste EC sur BG et désignant par BF et FG des droites égales à EC, on

3o QUESTIONS PROPOSfiBS.

aura

BC = BF-+-FG-4-GC ou

BC = aEC-+-GC,

et, comme le triangle GEF est aussi rectangle et isoscèle, si Ton porte GC sur EF, il vient

ÉC = -iGC -H un reste HC,

et ainsi de suite.

Donc la recherche de la plus grande commune multiple des droites AC et BG conduit à effectuer un nombre infini de superpositions, et de là on peut conclure que AG et BG sont incommensurables; car, si elles étaient commensurables, on sait que le nombre des superpositions devrait être limité.

J II. — Sur la mesure des angles.

135. Étant données deux circonférences tangentes exlérieuremeni ou intérieurement au point A, on mène par ce point deux sécantes quelconques, qui coupent l'une des circonférences aux points B, G et l'autre aux points B', C; démontrer que les droites BC, B'C sont parallèles.

136. Deux circonférences sont tangentes intérieurement au point A, et une corde BC de la grande circonférence est tangente à la petite au point D; démontrer qu'en menant les droites AB, AC, AD la droite AD est bissectrice de Tangle BAC.

137. Par l'un des points d'intersection A de deux circonférences on mène deux sécantes quelconques, qui coupent l'une des circonférences aux points B, C et l'autre aux points B', C; démontrer que les droites BC, B'C font entre elles un angle constant. (Ce théorème comprend celui de la question 135 comme cas particulier.)

138. Étant données deux circonférences qui se coupent aux points A, B, on mène par le point A une sécante quelconque CAD et Ton joint les points d'intersection C et D au point B; démontrer que l'angle CBD est constant.

139. Les bissectrices des angles formés par les côtés opposés d'un quadrilatère inscrit sont perpendiculaires entre elles.