LIVRE II. — CHAPITRE 1. 3l

140. Étant donnés un triangle ABC et les hauteurs ÂD, B£, qui se coupent au point H, on prolonge ÂD jusqu'à la rencontre du cercle circonscrit à ABC en G; démontrer que les droites HD et DG sont égales.

141. Étant donnés un triangle ABC et le cercle circonscrit 0, on joint le point au point D milieu de Tare BC et l'on joint AD; démontrer que Tangle ADO est égal à la demi-différence des angles B et C.

142. Les hauteurs d'un triangle sont les bissectrices des angles du triangle qui a pour sommets les pieds de ces hauteurs.

143. Étant donnés un triangle ABC et les centres 0', 0", O*' des cercles exinscrits, tangents aux côtés BC, AC, AB; démontrer que les quatre triangles 0'0''0^ O'^BC, O'^AC, 0'"AB sont équiangles entre eux; de plus, que chaque angle du triangle ABC a pour supplément le double de l'angle du triangle 0'0"0'^qui lui est opposé. (Soit le Cjenire du cercle inscrit, les quadrilatères OBO'C, OAO'"B sont in-

criplibles; alors l'angle BCO'= B00'= BO'"A, ....)

144. Si du point A, milieu d'un arc BAC, on mène deux droites quelconques ADE, AFG, qui coupent la corde BC et la circonférence aux points D, E, F, G, ces quatre points sont sur une circonférence.

145. Étant donné un quadrilatère inscrlptible ABCD, on décrit quatre arcs AEFB, BFGC, CGHD, DHEA, qui se coupent deux à deux aux points E, F, G, H; démontrer que le (juadrilatère EFGH est aussi inscriptible. (En prolongeant la corde DH au delà du point H, d'une longueur quelconque Jîx, les angles EH^et GH^ sont respectivement égaux aux angles EAD, GCD; de même, en prolongeant la corde BF, au delà du point F, d'une longueur quelconque Fj, etc.)

146. Si d'un point de la circonférence, circonscrite à un triangle, on abaisse des perpendiculaires sur les côtés du triangle, les pieds de ces perpendiculaires sont en ligne droite (droite de Simpson).

147. Étant donné un triangle équilatéral ABC inscrit dans un cercle, on mène de l'un des sommets A une droite quel-

32 QUESTIONS PROPOSÉBS.

conque AM, qui rencontre l'arc BC au point M; démontrer que la droite AM est égale à la somme des droites BM et CM. Réciproquement, lorsqu'on a un triangle équilatéral ABC, si la distance d'un point M à l'un quelconque des sommets est égale à la somme de ses distances aux deux autres sommets, ce point est situé sur la circonférence circonscrite au triangle.

14.8. Trois circonférences 0, 0', 0" se coupent en un même point A, et soient B, C, D les points d'intersection de la circonférence avec la circonférence 0', de la circonférence avec la circonférence C^, de la circonférence 0' avec la circonférence 0", puis joignons les points C, D à un point quelconque E de la circonférence 0", et supposons que la droite CE coupe la circonférence au point F, que la droite DE coupe la circonférence 0' au point G : démontrer que les trois points F, B, G sont en ligne droite.

IW. Si dans un triangle ABC [fig. 3) le côté AB est plus jj 3 grand que le côté AC, la bissectrice BD

de l'angle B sera plus grande que la bissectrice CE de l'angle C. Par le point C menons dans l'angle ECA la droite CF, faisant avec CE un angle ECF égal à l'angle ABD et rencontrant la bissectrice BD au point F; le quadrilatère EFCB sera inscriptible.

Décrivons l'arc BEFC. Alors l'arc BE est plus grand que l'arc FC, et, par conséquent, l'arc BEF est, aussi plus grand que l'arc EFC; d'ailleurs l'arc BEF, qui est intercepté par

C B l'angle BCF, égal à - H — ^ est moindre qu'une demi-circon-

férence, et il en est de même a fortiori ^q Tare EFC; donc la corde BF est plus grande que la corde CE; donc on a BD>CE. (Rapprocher ce théorème des questions 32 et 34.)

Remarque. — Si les bissectrices de deux angles d'un triangle sont égales, les côtés opposés à ces angles sont égaux j et, par conséquent , le triangle est isoscèle,

150. Sur deux côtés d'un triangle, comme diamètres, on décrit deux demi-circonférences; démontrer que ces demicirconférences se coupent sur le troisième côté. Trois cir-