Dans tout triangle ABC [fig. 4) ïes milieux des côtes

Fîg. 4.

les pieds des hauteurs et les milieux des droites qui joignent les sommets au point d'intersection des hauteurs sont situés sur une même circonférence. (Soient D, E, F les milieux des côtés BC, AC, AB, et menons la hauteur AG; je dis d'abord que la circonférence, passant par les points D, E, F, passera aussi par le pied G de la hauteur AG; car, dans le trapèze DGEF, les côtés FD et EG sont chacun la moitié de AC; donc ce trapèze est isoscèle, et, par suite, il est inscriptible (question 62].

Maintenant menons la hauteur CH, qui coupe AG au point K ; soit M le milieu de AK, et joignons ME et ED. La droite ME sera parallèle à KC ou à HC et la droite £D sera parallèle à AB; donc rangle..VED est droit, et, comme l'angle MGD est aussi droit, le quadrilatère MEGD est inscriptible; donc la circonférence, qui passe par les points D, G, E, passe aussi par le point M. Ainsi le théorème est démontré.

Remarque. — La droite MD est un diamètre de la circonférence DGEMF et le milieu &> de MD en est le centre.

Le cercle &> est dit le cercle des neuf points,

153. Par un point donné, mener une droite qui coupe une circonférence donnée sous un angle donné. D'un point donné, comme centre, décrire une circonférence qui coupe une circonférence donnée, sous un angle donné.

15i. Construire un triangle rectangle, connaissant l'hypoté-

nuse ei la somme ou la différence des côtés de l'angle droit. Plus généralement, construire un triangle, connaissant un côté, l'angle opposé et la somme ou la différence des deux autres côtés. (Ces problèmes peuvent se résoudre en se fondant seulement sur le premier Livre.)

155. Construire un triangle, connaissant un angle, la hauteur et la médiane issues du sommet de cet angle.

156. Construire un triangle, connaissant les longueurs de la médiane, de la bissectrice et de la hauteur issues d'un même sommet. (Après avoir construit un triangle rectangle ayant la médiane pour hypoténuse et la hauteur pour un des côtés de Tangle droit, on cherchera à déterminer le centre du cercle circonscrit au triangle demandé, etc.)

157. Construire un triangle, connaissant les pieds des perpendiculaires abaissées des sommets sur les côtés opposés.