Décrire une circonférence 0" [fig. lo) passant par un

point M el tangente à deux cercles donnés 0, 0'. (Supposons le problème résolu, et soient A» B les points de contact de la circonférence 0" avec les circonférences et 0% puis menons les droites 00", O'O", la droite AB qui rencontre la ligne des centres au point S et qui coupe les circonférences 0, 0' aux points C, D, et enfin tirons les rayons OC, O' D : les trois triangles isoscèles OCA, O'BD, 0"AB sont semblables et les rayons OC, O'B sont parallèles, d'où il résulte que le point S est un centre de similitude des cercles 0, O'. De plus, soient E le point d'intersection de la droite 00' avec la circonférence et F, G les points où la droite 00' coupe la circonférence 0' et menons les droites EA, FB, GD, on aura l'angle EAS = GDS = BFS, et, par conséquent, le quadrilatère ABFE est inscriptible.

Maintenant, si l'on mène la sécante SM, qui rencontre la circonférence 0" en un second point N, on aura

SM.SN = SA.SB=zSE.SF,

et, par suite, on peut obtenir la longueur SN. Ainsi, la circonférence cherchée doit passer par les points M, N et être tangente à la circonférence 0, etc.)

Ce problème est susceptible, en général, de quatre solutions, suivant que les cercles donnés doivent être à la fois extérieurs ou intérieurs au troisième, ou bien l'un extérieur et l'autre intérieur. Dans le raisonnement ci-dessus, on suppose que la circonférence 0" est tangente extérieurement aux circonférences 0, 0'.

282. Décrire une circonférence 0' tangente à deux droites données xy^ zt et à un cercle donné 0. (Supposons le problème résolu, et soient A, B, C les points de contact de la circonférence cherchée avec les droites xy^ zt et la circonférence 0; puis, du point 0' comme centre, avec le rayon O'O, décrivons une circonférence. Cette circonférence, concentrique à la circonférence cherchée, passera par le point 0, et elle sera tangente aux droites ^r'y, 2'/', parallèles aux droites xyy zl et distantes de xy^ zt d'une longueur égale au rayon OC. Ainsi ce problème est ramené à la question 279.)

La circonférence cherchée pouvant être tangente extérieu-

llYRE III. — CHAPITRE II. 69

rement ou tangente intérieurement à la circonférence donnée^ le problème admet quatre solutions.

283. Décrire une circonférence C tangente à une droite donnée xy ei à deux cercles donnés 0, 0'. (Soient A, B, G les points de contact de la circonférence cherchée 0" avec la droite xy et les cercles 0, 0', et supposons qu'on ait 0' G < OB ; puis, du point Q" comme centre, avec le rayon 0"0', décrivons une circonférence qui coupe le rayon OB au point D. Cette nouvelle circonférence, concentrique avec la circonférence cherchée, passera par le point 0'; elle sera tangente à la droite x' y y parallèle à xy et distante de a:/ d'une longueur égale au rayon O'G, et elle sera aussi tangente à la circonférence décrite du point 0, comme centre, avec le rayon connu OD; donc ce problème revient à la question 280, etc.)

Ce problème peut admettre huit solutions. Dans la solution qu'on vient d'exposer, on suppose que la circonférence 0", tangente à xy^ est tangente extérieurement aux circonférences données.

284. Décrire un cercle 0'" tangent à trois cercles donnés 0, 0', 0". (Soient A, B, G les points de contact de la circonférence cherch ée 0'" avec les circonférences 0, 0', 0", et supposons, par exemple, que 0"C soit le plus petit des trois rayons donnés; puis, du point 0''' comme centre, avec le rayon 0'"0", décrivons une circonférence qui coupe le rayon OA au point D et le rayon O'B au point E. Cette nouvelle circonférence, concentrique avec la circonférence cherchée, passera par le point 0", et elle sera tangente aux circonférences décrites des points et 0' comme centre, avec les rayons co nnus OD, 0' E. Ainsi ce problème revient à la question 281.)

Ce problème peut admettre aussi huit solutions. Dans la solution qu'on vient d'exposer, on suppose que la circonférence 0'" est tangente extérieurement aux trois circonférences données.