Sur l'emploi de l'algèbre pour résoudre des problèmes

DE Géométrie.

Résoudre un problème de Géométrie par l'Algèbre, c'est, en général, faire dépendre sa solution de la valeur d'une droite en fonction de droites connues.

Pour cela, on conçoit que les droites données et la droite inconnue aient été mesurées avec une unité quelconque, puis on représente ordinairement les mesures des droites données par des lettres telles que a, b, <?,..., et l'inconnue par X, par exemple; alors il s'agit de trouver d'abord une équation qui lie toutes ces mesures entre elles et, s'il y a lieu, la formule qui donne la valeur de x en fonction de a, b, c, .... Ensuite on déduit de cette équation ou de cette formule les constructions qu'il faut faire avec les droites données pour obtenir la droite inconnue.

Ainsi : i° Supposons qu'on arrive à une équation de la

bc forme ax = bc, ou à cette formule x =z — . Cette équation ou

a c cette formule peut être remplacée par la proportionT = - '

et l'on voit que x est une quatrième proportionnelle aux trois droites a, b, c.

76 QUESTIONS PROrOSÉES.

2° Soil la formule x = -r?- • On a j: = -7 X t.î et , comme

du o*C

on peut trouver une droite g égale à -7-5 on aura :r = ^•,

donc on obtiendra x en cherchant une quatrième proportionnelle g: aux trois droites rf, a, 6, puis une quatrième proportionnelle aux droites/, g^ c.

3° Soil réquation ax = 6* ou la formule x = — • On en

déduit T== -*, donc x est une troisième proportionnelle aux deux droites a, b.

Cl X

4° Soit réquation x^ ^=^ ab o\x-^=^-j\ x est une moyenne

proportionnelle entre a et 6.

5® Soit x^ znz a'-^b^*^ X est le côté du carré équivalent à la somme des carrés donnés aS 6*, ou l'hypoténuse du triangle rectangle dont les côtés de Tangle droit sont a, 6.

6° Soit a:' .— a^ — 6^; :r est le côté du carré équivalent à la différence des carrés donnés a%6% ou le côté de Tangle droit du triangle rectangle dont l'hypoténuse est a et dont l'autre côté de Tangle droit est 6.

7** Soit x^ ^=^ ab± cd. On cherchera un carré/' équivalent au rectangle aby puis un carré équivalent au rectangle ce/, et

Ton aura x^ =zf^±:g\

8** Soit ax^ == bc^ ou x^ = - c\ ou enfin — == - ; :r sera le

côté du carré dont le rapport au carré donné c' est —

9** Soil ax — x^ =^ b^ on X [a — x) ^z b^, La somme de x et de a — 07 est «; donc il s'agit de construire un rectangle équivalent à un carré donné 6* et dont la somme des dimensions soit égale à la droite a; et Tune quelconque des dimensions du rectangle cherché satisfera à l'équation x[a —x) = b^.

10° Soit x^-h ax=zb^. Cette équation peut se mettre sous la

forme

et Ton voit qu'il s'agit de trouver un rectangle équivalent au carré 6% et dont la différence des dimensions soit égale à la droite a. La plus petite dimension de ce rectangle sera la droite cherchée.