C. — Questions. S

Il4 QUESTIONS PROPOSÉES.

454. Si la hauteur SO d'un tétraèdre SABC rencontre la face ABC au point d'intersection des trois hauteurs de cette face, les arêtes opposées )du tétraèdre sont perpendiculaires entre elles deux à deux.

455. Lorsque dans un tétraèdre les arêtes opposées sont perpendiculaires entre elles deux à deux, les quatre hauteurs du tétraèdre se coupent en un même point. Si un tétraèdre SABC a un angle trièdre trireclangle S, ses arêtes opposées sont perpendiculaires deux à deux, et le point d'intersection des quatre hauteurs est le point S.

456. Les plans, perpendiculaires sur les milieux des arêtes d'un tétraèdre, se coupent en un même point.

457. Par un point quelconque, pris à l'intérieur de la base d'une pyramide régulière, on élève une perpendiculaire sur cette base; cette perpendiculaire rencontre toutes les faces de la pyramide prolongées au besoin. Démontrer que la somme des distances des points de rencontre au plan de la base est une quantité constante.

458. La base d'une pyramide régulière est un triangle équilatéral dont le côté est a; la hauteur de la pyramide est égale à 2a; à quelle distance de la base ABC faut-il mener un plan DEF parallèle à cette base pour que la surface du triangle DEF soit égale à la surface latérale du tronc ABCDEF?

459. Évaluer la surface de la section faite dans un tronc de pyramide triangulaire par un plan mené parallèlement aux bases et à égale distance de ces bases.

460. Par la droite DE, qui joint les milieux de deux arêtes opposées SA, BC d'un tétraèdre SABC, on mène un plan quelconque qui coupe SB au point F et ACau point G; démontrer que la droite FG est divisée par la droite DE en deux parties égales. (Si, par la droite DE on mène le plan également distant des arêtes SB, AC, les perpendiculaires abaissées des points F et G sur ce plan seront égales, et il en sera de même des perpendiculaires FF', GG\ abaissées des points F et G sur DE, etc.)

LIYRE VI. — CHAPITRE I. 1 15

461. Couper un tétraèdre SABC par un plan P parallèle aux deux arêtes opposées SB, AC, de manière que la section DEFG soit un maximum. (Toute section faite par un plan parallèle aux arêtes SB, AC est un parallélogramme, tel que DEFG, dont l'angle DEF est égal à celui des arêtes SB, AC; donc la section sera un maximum en même temps que le produit DE.DF, etc.)

462. On a un tétraèdre SABC et, par la droite DE, qui joint les milieux des arêtes opposées SA, BC, on mène un plan qui coupe les arêtes SB, AC aux points F et G; quelle doit être la position du plan pour que la surface de la section DFEG soit un minimum? (En abaissant les perpendiculaires FF', GG' sur

FF' -f- GG'

DE, la section a pour mesure DE > dont le facteur DE

est constant, et il s'agit de trouver dans quel cas la somme FF'-f- GG' est un minimum. Or, si Ton mène par DE le plan DHEK, parallèle aux arêtes SB, AC, et qui est également distant de ces arêtes, les droites FF', GG' sont égales et parallèles [voir quest. 460), et ces droites sont, en général, obliques au plan DHEK, etc.)

463. Construire une pyramide quadrangulaire SABCD [Jig. 20) , qui a pour base un tra- Fig 20

pèze ABCD, connaissant: i° la face s

SAB; 2° les directions des arêtes Âhs. - F

parallèles AD, BC ; 3° les angles de h r /h \ \\ /

la face SCD. (Du sommet S abais- \ / / '• \\V sons SO, perpendiculaire au plan Y/ — X— [ — V~\/ de la base, lequel est connu de \ /-----~-~-\ / E

position, menons OE perpendicu- G \ j \j

laire au côté DC et joignons SE; V c

alors cette dernière droite sera la

hauteur de la face SCD, et, comme le triangle SCD est donné tt espèce ou de forme, on connaît les rapports de CE à ED et de CE à SE. Donc, si Ton prolonge CE d'une longueur EF égale à SE, qu'on mène par le point E une parallèle à CB, rencontrant AB au point G, et, par le point F, une seconde parallèle à CB, rencontrant AB au point H, on aura