Livre VI

Livre VIL — 509, 519, 520, 549, 550, 551, 552. Livre VIII. - 610, 620, 642, 643.

(Total : 5i lieux demandés.)

Observation /. — Un lieu géométrique est, en général, décrit par un point d'une figure qui varie d'une manière continue, d'après des conditions données, et qui se rattache à une figure fixe.

Par exemple, soit un triangle MAB dont la base AB est donnée de grandeur et de position, et supposons que les distances à et à' du sommet M aux points A et B satisfassent à la relation à = J', le lieu du point M sera la perpendiculaire élevée sur le milieu de AB. De même, si les distances £ et $' sa-

£ m tisfont à la relation — , = — {m et « étant deux droites ou deux nombres don-

nés), le lieu du point M sera une circonférence.

Lorsqu'on définit un lieu géométrique par la relation qui existe constamment entre les distances à et <?' de l'un quelconque de ses points M à deux points fixes A et B, on donne ordinairement à ces deux points le nom de pôles ; les distances £, $' sont les coordonnées du point M et l'on dit que le lieu est défini par des coordonnées bipolaires. On dit aussi que la relation générale f ( J, <?') = o qui définit un lieu géométrique est l'équation de ce lieu, en coordonnées bipolaires.

Les équations en lignes définies par des coordonnées bipolaires et dont on s'occupe plus particulièrement sont toujours très-simples. Nous les indiquons dans le tableau suivant, en les faisant suivre des noms des lignes qu'elles représentent.

(i) J = tf ligne droite.

(a) £ •+- <?' = const. = m . . . ellipse.

(3) S — S' = m et <?' — <? = m . hyperbole.

(4) Sâ' = m* ovales de Cassini.

(5) — = — circonférence.

(6) £'-+-<?'*= m* circonférence.

(7) ** — $'* = m* ligne droite.

On voit que les équations (2), (3), (4) représentent des courbes qui ne sont pas du ressort des Éléments de Géométrie.

AB Si dans l'équation (4) on suppose que m soit égal à — , c'est - à - dire à la

moitié de la distance des pôles, la courbe représentée par l'équation

$$' = —j— se nomme lemniscate.

Observation IL — Au lieu de définir le lieu du point M par une relation entre J et £', on peut le faire au moyen des angles o> et «' que les droites MA, MB font avec AB.

Ainsi l'équation « = «' représente la perpendiculaire élevé sur le milieu de AB, et l'équation w + w' = const. = p représente l'arc du segment décrit sur la droite AB, capable de l'angle 180 — p.

Nous désignerons les angles o> et «' sous le nom de coordonnées biangulaires.

Observation III. — Pour définir un lieu géométri ue on peut aussi employer la relation qui existe entre les distances de chaque point de ce lieu à deux droites fixes qui se coupent.

Soient xy, x'y ces deux droites qui se coupent en A, et MP, MP' les perpendiculaires abaissées d'un point M du lieu sur xy et sur x'y\ et que nous désignerons par p et p'; alors l'équation p=-p* représente les deux droites qui sont bissectrices des angles formés par xy et x'y' .

L'équation p -hp' = const. = m représente le périmètre d'un rectangle (voir la question 66).

Les équations réunies p — p' = m et p' — p = m représentent les huit prolongements des côtés d'un rectangle.

Et l'équation — , =- — représente le système de deux droites passant par le

point A.

Les distances />, p' sont des coordonnées biperpendiculaires.

Observation IV. — .Enfin on peut définir un lieu géométrique par la relation qui existe entre la distance de chaque point du lieu à un point fixe et sa distance à une droite fixe, et nous pourrions encore indiquer d'autres systèmes de coordonnées. Mais nous nous en tiendrons à ce qui précède.

Nous terminerons cette Note en résolvant les deux problèmes suivants, comme applications des deux manières de procéder pour trouver un lieu géométrique que nous avons indiquées plus haut.

Problème I. — Par un pointa [fig. 25), pris sur le plan d'un cercle 0,

Fig. 25.

on trace une sécante quelconque PAB, qui coupe la circonférence aux points A et B, et de ces points on mène deux tangentes qui se coupent en M. Quel est le lieu du point M? (Ce problème n'est autre que la question 226.)

D'abord^on voit qu'en menant du point P deux droites tangentes à la circonférence aux points N, N', ces points appartiennent au lieu cherché, et qu'en menant des tangentes aux extrémités du diamètre CD, ces tangentes sont parallèles ou se rencontrent à l'infini. De là il est à présumer que le lieu demandé est une ligne droite, et, en effet, nous allons démontrer que

IÇ)* SUR LES LIBUX GÉOMÉTRIQUES.

tout point de ce lieu est situé sur la droite xNN ; jr et de plus que tout point de cette droite est un point du lieu.

Pour cela, concevons qu'on mène le rayon ON ; alors les deux triangles rectangles PON, NP'O seront semblables et Ton aura