OP.OP" = OM.OE

mais le triangle MAO étant rectangle en A, on a

OM.OE = OA et par suite

(a) OP.OP" = ÔÂ 2 = ÔN.

Ainsi, d'après les égalités (î) et (2), on a OP'= OP"; donc la perpendiculaire abaissée du point M sur PO se confond avec la droite xNNy ; donc déjà tout point du lieu cherché est situé sur cette droite.

D'ailleurs, en faisant varier la position de la sécante PA6 d'une manière continue, les points tels que M se succéderont aussi d'une manière continue : donc tout point de la droite arNN'y (à l'exception des points de la corde NN') est un point du lieu.

Donc enfin le lieu cherché se compose des deux prolongements N.r et N'/ de la corde NN\

Remarque I, — Le point P est le pâle de la droite MP' et cette droite est la polaire du point P. Ces définitions adoptées d'abord ont été modifiées ( voir nos Éléments, p. 388).

En désignant le rayon du cercle par R, on voit que les distances du centre au pôle P et à la polaire MP' sont liées par la relation