CHAPITRE I

Fig. 4.

conférences, qui passent chacune par l'un des sommets d'un triangle et qui se coupent deux à deux sur les côtés du triangle, se rencontrent en un même point.

151. Sur les côtés d'un triangle quelconque ABC on construit extérieurement des triangles équilatéraux ABD, BCE, CAF et l'on mène les droites DC, EA, FB; démontrer que ces droites sont égales, qu'elles se coupent en un même point et que de ce point les trois côtés du triangle sont vus sous le

• même angle.

152. Dans tout triangle ABC [fig. 4) les milieux des côtes, les pieds des hauteurs et les milieux des droites qui joignent les sommets au point d'intersection des hauteurs sont situés sur une même circonférence. (Soient D, E, F les milieux des côtés BC, AC, AB, et menons la hauleur AG; je dis d'abord que la circonférence, passant par les points D, E, F, passera aussi par le pied G de la hauteur AG; car, dans le trapèze DGEF, les côtés FD et EG sont chacun la moitié de AC; donc ce trapèze est isoscèle, et, par suite, il est inscriptible (question 62).

Maintenant menons la hauteur CH, qui coupe AG au point K ; soit M le milieu de AK, et joignons ME et ED. La droite ME sera parallèle à KC ou à HC et la droite ED sera parallèle à AB; donc l'angle &E1) est droit, et, comme l'angle MGD est aussi droit, le quadrilatère MEGD est inscriptible; donc la circonférence, qui passe par les points D, G, E, passe aussi par le point M. Ainsi le théorème est démontré.

Remarque. — La droite MD est un diamètre de la circonférence DGEMF et le milieu w de MD en est le centre.

Le cercle w est dit le cercle clés neuf points.

153. Par un point donné, mener une droite qui coupe une circonférence donnée sous un angle donné. D'un point donné, comme centre, décrire une circonférence qui coupe une circonférence donnée, sous un angle donné.