AD BE CF

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d'où il résulte que le produit des rapports du premier segment au second, du troisième segment au quatrième, du cinquième au sixième est égal à i .

Remarque III. — La figure formée par 1q triangle ABC jet la transversale DFE ou par les quatre droites AB, AC, BC, DE, qui se coupent deux à deux, est appelée quadrilatère complet.

Pour passer d'un quadrilatère convexe ABCD à un quadrilatère complet, il suffit de prolonger les côtés opposés AB, CD jusqu'à leur rencontre en E, et les côtés BC, AD jusqu'à leur rencontre en F. Les droites AC, BD, EF sont les diagonales du quadrilatère complet ABCDEF.

215. Étant donnés une droite indéfinie xy et deux points A et B sur cette droite, déterminer sur xy deux autres points C et D tels, que les dislances de chacun d'eux aux points A et B soient entre elles dans un rapport donné. (Pour fixer les idées, soit m>/», et menons par le point A une droite AM = m, et par le point B une droite NN' parallèle à AM, et de manière qu'on ait NB = BN':= n; la droite MN' coupera xy en un point' C, compris entre A et B, et la droite MN coupera xy au point D sur le prolongement de AB et les points C et D seront les points cherchés.)

Remarque. — Les points C et D sont dits conjugués harmoniques par rapport à la droite AB ou par rapport aux points A et B.

On dit aussi que les quatre points A, B, C, D sont harmoniques ou qu'ils forment un système harmonique y et que la droite AB est divisée harmonique ment par les deux points C et D.

Si d'un point quelconque S on mène des droites SA, SB, SC, SD à quatre points harmoniques A, B, C, D, ces droites forment un faisceau harmonique. Les deux droites SC, SD, qui passent par deux points conjugués harmoniques, sont appelées conjuguées harmoniques. (En général, on appelle faisceau un système de droites quelconques SA, SB, SC, ... qui passent par un môme point S. Ce point est le centre du faisceau et les droites SA, SB, SC, ... en sont les rayons.)

216. Si une droite EF, parallèle aux bases AB et DC d'un trapèze, divise les deux autres côtés dans le rapport de m à n 9 de telle sorte qu'on ait

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