LIVRB III. — - CHAPITRE II

on aura

„ m.AB-f-n.CD

bit =■ •

(On mènera la diagonale DB qui coupe EF au point G, etc.)

217. Si deux parallèles AB, ab sont divisées en parties proportionnelles par différentes droites Aa, Ce, Dtf, B6, ces droites concourent en un même poinl.

Remarque. — Cette question donne un moyen de mener par un point donné C une droite Ce qui concoure au même point que les droites A a et Dd qu'on ne peut prolonger.

218. Si deux droites AB, CD se coupent en un point E, situé entre A et B, et que les deux parties de la droite AB soient inversement proportionnelles à celles de la droite CD, les quatre points A, B, C, D sont sur une même circonférence. De même, lorsque deux droites AB, CD prolongées se coupent en un point E, si les distances EA, EB sont inversement proportionnelles aux distances EC, ED, le quadrilatère ABCD est inscriptible. Enfin, si une droite EA, prise sur le côté d'un angle, est moyenne proportionnelle entre les droites EC, ED, prises sur l'autre côté de l'angle, la circonférence passant par les points A, C, D sera tangente à la droite EA.

219. Si d'un point D, pris sur une droite BC, entre ses extrémités B et C, on élève sur BC une perpendiculaire DA telle, qu'on ait

ÂB 2 = BC X BD,

le triangle ABC sera rectangle en A. Le triangle ABC sera encore rectangle en A, si l'on a

âd'=bdxdc.

220. Étant donné un triangle ABC, on diminue le côté AB d'une longueur arbitraire AA' et l'on augmente le côté BC d'une longueur CC'= AA'; démontrer que la droite A'C est divisée par le côté AC dans le rapport inverse des côtés AB, BC.

221. Démontrer que les perpendiculaires, abaissées d'un point quelconque de l'une des diagonales d'un parallélo-

gramme sur deux côtés adjacents, sont inversement proportionnelles à ces côtés.

222. Par le sommet À d'un parallélogramme ABCD on mène une transversale qui coupe, aux points E et F, les côtés CB, CD prolongés : démontrer que le produit BExDF est constant.

223. Si, par un point E, pris sur la diagonale AC d'un parallélogramme ABCD, on mène une transversale qui coupe les côtés AB, BC en F et G, les côtés AD, DC en F' et G', on aura