Décrire une circonférence 0" {fig. 10) passant par un

point M et tangente à deux cercles donnés 0, 0'. (Supposons le problème résolu, et soient A, B les points de contactée la circonférence 0* avec les circonférences et 0', puis menons les droites 00", O'O", la droite AB qui rencontre la ligne des centres au point S et qui coupe les circonférences 0, 0' aux points C, D, et enfin tirons les rayons OC, 0' D : les trois triangles isoscèles OCA, O'BD, 0"AB sont semblables et les rayons OC, O'B sont parallèles, d'où il résulte que le point S est un centre de similitude des cercles 0, 0'. De plus, soient E le point d'intersection de la droite 00' avec la circonférence et F, G les points où la droite 00' coupe la circonférence 0' et menons les droites EA, FB, GD, on aura l'angle EAS = GDS=: BFS, et, par conséquent, le quadrilatère ABFE est inscriplible.

Maintenant, si l'on mène la sécante SM, qui rencontre la circonférence 0" en un second point N, on aura

SM.SN = SA.SB=rSE.SF,

et, par suite, on peut obtenir la longueur SN. Ainsi, la circonférence cherchée doit passer par les points M, N et être tangente à la circonférence 0, etc.)

Ce problème est susceptible, en général, de quatre solutions, suivant que les cercles donnés doivent être à la fois extérieurs ou intérieurs au troisième, ou bien l'un extérieur et l'autre intérieur. Dans le raisonnement ci-dessus, on suppose que la circonférence 0" est tangente extérieurement aux circonférences 0, 0'.

282. Décrire une circonférence 0' tangente à deux droites données xy, zt et à un cercle donné 0. (Supposons le problème résolu, et soient A, B, C les points de contact de la circonférence cherchée avec les droites xy, zt et la circonférence 0; puis, du point 0' comme centre, avec le rayon O'O, décrivons une circonférence. Cette circonférence, concentrique à la circonférence cherchée, passera par le point 0, et elle sera tangente aux droites x' y , z't', parallèles aux droites xy, zt et distantes de xy, zt d'une longueur égale au rayon OC. Ainsi ce problème est ramené à la question 279.)

La circonférence cherchée pouvant être tangente extérieu-