LIVRE III. — CHAPITRE III. 8l

ties équivalentes. (Pour fixer les idées, supposons qu'on ait AD > DB ; alors le triangle ADC est plus grand que le triangle DBC, et la droite DE rencontrera le côté AC en E et Ton aura

ADE DECB ABC

Mais les triangles ADE, ABC, ayant un angle égal, sont proportionnels aux produits des côtés qui comprennent cet angle; donc

A^AE^AB.AÇ ou 3AD . AE=ABAC;

d'où Ton voit que la droite inconnue AE est une quatrième proportionnelle aux droites 2 AD, AB, AC.

On prolongera donc AD d'une longueur DF = AD, on joindra FC et l'on mènera BE parallèle à FC, et la droite AEsera la droite cherchée.)

Remarque. — Lorsque l'Algèbre conduit ainsi à une construction , il faut, autant que possible, adapter cette construction à la figure donnée.

Cette question a déjà été proposée pour être résolue géométriquement [voir quest. 180), et, dans les deux cas, la construction reste la môme,

315. Élever sur un côté BC du triangle ABC une perpendiculaire EF qui divise ce triangle en deux parties équivalentes. (Soit AD la hauteur du triangle et supposons BD>DC; la droite EF rencontrera le côté AB en F, etc.).

On trouvera que la droite inconnue BE doit être une moyenne proportionnelle entre BD et 7BC.

Remarque. — Plus généralement, on peut se proposer de diviser le triangle ABC en deux parties équivalentes par une parallèle à une droite donnée.

316. Par un sommet A du quadrilatère ABCD, mener une droite AE qui divise ce quadrilatère en deux parties équivalentes. (Supposons que le triangle ABC soit plus grand que le triangle ACD; alors la droite AE doit rencontrer le côté

C«. — Questions. O

BC en E et, si Ton prolonge les côlés AD, BC jusqu'à leur rencontre au point S, on aura

ABE = AECD ou

SAB - SAE = SAE - SDC.

Mais les triangles SAB, SAE, SDC, ayant l'angle S commun, sont proportionnels aux produits des côtés qui comprennent cet angle; donc