O QUESTIONS PROPOSÉES
droites EF, GH, respectivement parallèles aux premières, sont parallèles entre elles.
§ IV. — Sur les triangles, les quadrilatères, les polygones.
Sur les triangles.
23. Étant donnés deux angles d'un triangle, trouver le troisième.
•2.4* Si deux triangles rectangles ont l'hypoténuse égale et un angle aigu inégal, au plus grand angle aigu est opposé le plus grand côté.
• 25. Si du sommet d'un angle x À,/ on prend sur l'un des côtés Â47 deux longueurs quelconques ÀB, AG, et sur l'autre côté Ay des longueurs AB',.AC, respectivement égales aux premières et qu'on mène les droites BC', CB', ces lignes se couperont sur la bissectrice de l'angle A. (De là un moyen de mener la bissectrice d'un angle donné. )
26. Si un angle A d'un triangle ABC est compris entre des côtés inégaux, la médiane, menée du sommet de cet angle, fait avec les côtés de ce même angle des angles inégaux, et celui qu'elle forme avec le plus grand des deux côtés est le plus petit. (Prolongera médiane AD d'une longueur DM = AD et joindre BM; les triangles ADC et MDB seront égaux, etc.)
Remarque. — Do ce théorème il résulte que, si dans un triangle ABC la côté AB est plus grand que le côté AC, la bissectrice AE de l'angle A divise le côté BG en deux segments- inégaux BE, EC, et que le segment adjacent au plus grand côté est le plus grand.
D'ailleurs, on voit facilement que l'angle AEG est aigu et, par conséquent, la hauteur AF du triangle ABG, issue du sommet A, doit rencontrer le côté BG sur le prolongement de la droite BE au delà du point E.
Ainsi la bissectrice d'un angle d'un triangle est toujours comprise, en grandeur et en position, entre la médiane et la hauteur issues du sommet de ce même angle, à moins que les côtés qui comprennent l'angle ne soient égaux, auquel cas les trois droites en question se confondent.
On peut se proposer de démontrer directement Tune des conséquences qui précèdent, savoir : Si dans un triangle ABG le côté AB est plus grand
LIVEB I. — CHAPITRE III. 7
que Je côté AC, la bissectrice AE de l'angle A divise le côté BC en deux segments inégaux BE, EC, et celui qui est adjacent au plus grand côté est le plus grand. (Sur le côté AB prendre AG = AC et joindre GE; on aura EG = EC, et il sera facile de comparer les droites BE et EG qui sont les côtés d'un même triangle GBE, etc.)
Observation. — S'il ne s'agissait dans ce Recueil que de faire connaître une démonstration de telle ou telle proposition, il serait avantageux de réserver la question 26 pour le Livre III ; alors elle ne serait, ainsi que ses conséquences contenues dans la remarque ci-dessus, que des corollaires immédiats d'un théorème très-connu (voir nos Éléments, 219). Mais il s'agit plutôt d'exercer l'intelligence des élèves, en leur faisant voir comment des vérités peuvent s'établir de différentes manières et comment on en peut démontrer quelques-unes avec le seul secours du premier Livre, lors même qu'on pourrait les démontrer plus facilement par la suite.
27. Bans un triangle ABC on mène la bissectrice AD de l'angle A, qui rencontre BC au point D, et il s'agit : i° de démontrer que la différence des angles ADB, ADC est la même que celle des angles C et B; 2 de trouver les angles ADB et ADC, sachant que la différence des angles C et B est égale à un angle donné o\ (Pour ce 2 , voir la quesl. 16.)
• 28. Dans un triangle ABC, l'angle formé par la bissectrice AD de l'angle A et par la perpendiculaire AE abaissée du sommet A sur le côté BC est égal à la demi-différence des angles C et B. Dans un triangle ABC, le côté AB est plus grand que le côté AC, sur AB on prend une longueur AD~ AC et
l'on joint DC; démontrer qu'on a aussi angle DCB— •
Je
• 29. Dans un triangle ABC, on mène les bissectrices des angles B et C, qui se rencontrent au point 0; démontrer que l'angle BOC est égal à un droit, plus la moitié de l'angle A.
30. Étant donné un triangle ABC, on prolonge le côté BA au delà du sommet A d'une longueur AD égale à AC, on joint DC et par le point A on mène AE parallèle à DC; démontrer que AE est la bissectrice de l'angle BAC,
3t. Un triangle ABC est isoscèle : i° lorsque Tune de ses médianes AD est en même temps F une de ses hauteurs ; i° lorsque la bissectrice AD de l'un de ses angles est perpendiculaire sur
le côté opposé; 3° lorsque la bissectrice AD de l'un de ses angles passe par le milieu du côté opposé. ( Pour démontrer ce 3°, prolonger AD d'une longueur DE == AD et joindre EB, etc.)
32. Dans un triangle isoscèle ABC, les perpendiculaires abaissées des extrémités de la base BC sur les côtés opposés sont égales, et il en est de même des médianes et des bissectrices issues des sommets B et C.
33. Si dans un triangle ABC l'angle B est droit ou obtus, les perpendiculaires abaissées des sommets B et C sur les côtés opposés sont inégales et la seconde est plus grande que la première. (De là il résulte que, si les hauteurs issues des sommets B et C sont égales, les angles B et C sont aigus.)
34. Si dans un triangle les perpendiculaires abaissées de deux sommets sur les côtés opposés sont égales, le triangle est isoscèle.
Remarque. — On verra par la suite qu'un triangle est aussi isoscèle lorsque deux de ses médianes ou deux de ses bissectrices sont égales. [voir les quest. 59 et 149, Rem.)
35. Étant donné un triangle équilatéral ABC, on prend sur les côtés AB, BC, CA, à partir des sommets A, B, C, des distances égales AA ; , BB', CC; démontrer que le triangle A'B'C est aussi équilatéral.
Sur les quadrilatères et les polygones.
36. Deux quadrilatères convexes sont égaux lorsqu'ils ont un angle égal et leurs quatre côtés égaux chacun à chacun cl disposés de la même manière.
37. L'angle formé par les bissectrices de deux angles consécutifs d'un quadrilatère convexe est égal à la demi-somme des deux autres angles du quadrilatère, et l'angle formé par les bissectrices de deux angles opposés est égal à la demi-différence des deux autres angles.
38. Quel est le lieu des points situés à une distance donnée d'une droite donnée? (Celte question est analogue à la quest. 6.)
