LIVRE I. — CHAPITRE III

39. Trouver un point également distant de deux points donnés et situé à une distance donnée d'une droite donnée.

40. Étant donné un parallélogramme ABCD, on prend sur les côtés AB, BC, CD, DA, à partir des sommets A, B, C f D, des distances AA', BB', CC, DD', telles que AA'=rCC et que BB'=DD'; démontrer que le quadrilatère A'B'C'D' est aussi un parallélogramme et que les diagonales des deux parallélogrammes se coupent en un même point.

41. Les bissectrices des angles d'un quadrilatère convexe forment un second quadrilatère dont les angles opposés sont supplémentaires. Si le premier quadrilatère est un parallélogramme, le second est un rectangle dont les diagonales sont parallèles aux côtés du parallélogramme et égales à la différence de ses côtés adjacents; et, si le premier quadrilatère est un rectangle, le second est un carré.

Remarque. — Il arrive souvent qu'une figure bien faite facilite une démonstration, et c'est ce qui a lieu pour la seconde partie de cette question.

42. Deux trapèzes ABCD, A'B'C'D' sont égaux lorsqu'ils ont leurs quatre côtés égaux chacun à chacun et disposés de la même manière. (Mener BE parallèle à AD entre les bases du premier et B'E' parallèle à A'D' entre les bases du second, etc:)

43. De tous les points d'une droite indéfinie xy on mène des droites égales parallèles et dirigées dans le même sens; quel est le lieu des extrémités de ces droites? (Même question, en remplaçant la droite xy par une circonférence.)

44. Un polygone convexe ne peut avoir plus de trois angles intérieurs aigus.

45. Le nombre des diagonales d'un polygone convexe de n côtés est donné par l'expression—^- -•

lO QUISTIOKft PHOPOSÊB8.

§ V. — Sur les propositions diverses.

46. Trouver un poîm également distant de deux points donnés et également distant de deux droites données.

47. Les bissectrices de deux angles, qui ont leurs côtés respectivement parallèles, sont parallèles ou perpendiculaires entre elles.

48. Les droites qui joignent les milieux des côtés d'un triangle divisent ce triangle en quatre triangles égaux entre eux.

49. Les droites qui joignent successivement les milieux d'un quadrilatère forment un parallélogramme. Dans quels cas ce parallélogramme devient-il un losange, un rectangle, un carré?

50. Quel est le lieu des milieux des droites menées d'un point donné aux différents points d'une droite donnée xyl (Même question, en remplaçant la droite donnée par une circonférence.)

5t. La droite qui joint le sommet de l'angle droit d ? un triangle rectangle au milieu de l'hypoténuse est égale à la moitié de cette hypoténuse.

52. Si l'hypoténuse d'un triangle rectangle est double de l'un des côtés de l'angle droit, l'un des angles aigus est double de l'autre; ainsi le premier de ces angles vaut } de droit. Réciproquement, si l'un des angles aigus d'un triangle rectangle vaut | de droit, l'hypoténuse est double du côté de l'angle droit adjacent à cet angle. (Le triangle rectangle en question est la moitié d'un triangle équilatéral.)

53. Les points E et F étant les milieux des côtés opposés ÀB et CD d'un parallélogramme, démontrer que les droites BF et DE divisent la diagonale AG en trois parties égales.

54. Dans un triangle ABC, la bissectrice d'un angle A et les bissectrices des suppléments des angles B et C se coupent en un même point.