LIVRE III. — CHAPITRE III

l II. — Construction d'un rectangle équivalent à un carré donné et dont la somme ou la différence des dimensions est égale à une droite donnée. — Division d'une droite en moyenne et extrême raison.

Les trois problèmes que comprend ce paragraphe sont ordinairement résolus synthétiquement dans tous les Éléments de Géométrie ; nous allons les résoudre au moyen de l'Algèbre, en modifiant les énoncés des deux premiers.

320. Trouver deux droites x eiy dont la somme est a et dont le produit est égal à m 7 . (En résolvant le système d'équations

xy — m\ on trouve

a la*

A la première valeur de x correspond la première valeur de^, et à la seconde valeur de x la seconde valeur dey; d'où il résulte que le problème n'admet qu'une solution.)

Remarque I. — Pour construire la première valeur de x } on prend d'abord la moitié AO de Ja droite donnée AB = a et l'on ajoute à la suite le côté OE de l'angle droit d'un triangle rectangle OED, qui a

pour hypoténuse OD = - et m pour l'autre côté de l'angle droit. On re-

trquve ainsi la construction synthétique connue.

Remarque II. — D'après cette construction, on voit que la moyenne arithmétique de deux droites inégales AE et EB est plus grande que leur moyenne géométrique.

Remarque III. — Pour que les valeurs de x et de y conviennent à la question, il faut qu'elles soient réelles et que l'on ait

nv < — - ou au plus égal a -- • 4 4

Ainsi, le maximum du produit de deux droites, dont la somme est constante, est le carré de la moitié de cette somme , ou, en d'autres

termes, si une droite a est divisée en deux parties, le produit maximum

de ces parties est — j c'est-à-dire le carré de la moitié de cette droite.

De plus, les valeurs de x et de y doivent être positives ; or elles le sont évidemment.

Remarque IF. — La résolution de cette question 320 donne le moyen de construire immédiatement les racines de l'équation homogène du second degré

ax — x ï =q t ou x(a — x)=q*.

Elle donne aussi le moyen d'obtenir les racines de l'équation

car les racines de cette équation ne sont autres que celles de l'équation précédente, changées de signes.

Remarque V. — Au lieu de considérer deux inconnues, on aurait pu n'en considérer qu'une. En désignant par x Tune des parties de a, l'autre serait a — x, et l'on aurait à résoudre l'équation

x(a — x) = m*, ce qui donne encore

a , la' 1

et, par suite,

a la*

a — x = -qz t / -

321. Trouver deux droites x et y dont la différence est a et dont le produit est égal à m*. (En supposant que x désigne la plus grande des deux droites, on a à résoudre le système

d'équations

•xy = m 2 , t

on trouve

a ^ la*

x =--±zll -r-f- m'

et, pour valeurs correspondantes de y,

La première valeur de x et la première valeur de y sont réelles et positives et donnent une solution de la question;