LIVRE III. — CHAPITRE III

rence au point N, de telle sorte que CN soit égale à une droite donnée m. (En joignant AM et AN, les triangles AMN, AMG sont semblables et donnent

MN = ^, d'où MN.MC = ÂM 2 ; AM ML

d'ailleurs MN — MC = m. Ainsi l'on peut obtenir la droite

MN, etc.)

331. Construire un triangle ABN, connaissant sa base AB, l'angle opposé ANB et la longueur m de la bissectrice NC de cet angle. (Question facile d'après la précédente.)

332. Par un point C, pris sur la bissectrice d'un angle ANB, mener une sécante ACB telle, que la partie AB de cette sécante, comprise entre les côtés de l'angle, ait une longueur donnée. (On s'appuiera sur la question précédente. )

Remarque. — Ce problème, dans le cas particulier où l'angle donné ANB est droit, est connu sous le nom de problème de Pappus 9 célèbre géomètre qui vivait au iv e siècle.

333. Inscrire un carré dans un triangle donné ABC (Jig.i*). Soient DEFG Fig l2

le carré cherché, x son côté, AH la hauteur du triangle qui coupe GF au point K.

Dans les triangl es semblables ABC, AGF, les / — \ ^±c l^ 1: .„

bases BC = a, GF=*

sont proportionnelles aux hauteurs AH = A, AK = A-~ x> et

l'on a

a h ,, , ah

-=z » d ou x~ r;

ainsi le côté x du carré est une quatrième proportionnelle aux trois droites a-\- A, a, /*.

Pour construire x, prolongeons HC d'une longueur CM =BH, portons à la suite de HM la droite MN = AH, joignons NA, et par le point M menons une parallèle à NA, qui rencontre AH

au point K; alors HK sera le côté du carré cherché, car on a

HN ou a -\- h HA ou h HM ou a HK. ou x

Remarque. — Cette question n'est autre que la question 198, qu'il s'agissait de résoudre géométriquement) en remarquant que la droite BF est un lieu géométrique qu'on est censé connaître d'après la question 197.

334. Inscrire dans un carré donné un second carré dont le côté est donné. Dans quel cas ce second carré sera-t-il le plus petit possible?

335. Inscrire dans un triangle donné ABC un rectangle DEFG équivalent à un carré donné m*. Dans quel cas ce rectangle est-il un maximum?

Remarque, — Les Éléments d* Algèbre contiennent ordinairement un assez grand nombre de questions relatives à des figures géométriques et où il s'agit de maxima et de mini ma.

336. Diviser une droite donnée a en deux parties telles, que la somme ou la différence des carrés construits sur ces parties soit équivalente à un carré donné m 3 .