CHAPITRE IL

§ I. — Sur la mesure des parallélipipèdes et des prismes.

467. Sans se fonder sur les mesures du parallélipipède el du prisme triangulaire, démontrer les quatre théorèmes suivants :

Thëorèmb I. — Le plan y mené par deux arêtes opposées d* un parallélipipède, divise ce parallélipipède en deux prismes triangulaires équivalents. ( On voit d'abord que ces deux prismes sont superposables , lorsque le parallélipipède est droit; etc.)

Théorème IL — Deux parallélipipèdes ABCDEFGH, ABCDKLMN sont équivalents lorsqu'ils ont même base inférieure ÂBCD, et leurs bases supérieures comprises entre les mêmes parallèles EFKL, GHNM. {Les deux prismes triangulaires AEKDHN, BFLCGM sont superposables, et si on les retranche successivement du prisme quadrangulaire qui a pour bases ABLE, DCMH, les restes sont équivalents. )

Théorème III. -— Deux parallélipipèdes ABCDEFGH, ABCDKLMN sont équivalents lorsqu'ils ont même base ABCD et même hauteur. [En prolongeant EF, GH, ainsi que NK, ML, ces arêtes formeront par leurs intersections un parallélogramme PQRS qu'on peut regarder comme la base supérieure d'un parallélipipède ABCDPQRS, et ce troisième parallélipipède sera équivalent à chacun des deux premiers, d'après le théorème précédent. )

Théorème IV. — Tout parallélipipède oblique ABCDEFGH est équivalent à un parallélipipède droit ABCDKLMN de même base ABCD et de même hauteur. De plus, il est équivalent à

Il8 QUESTIONS PROPOSÉES.

un parallélipipède rectangle de même hauteur et de hases équivalentes.

Remarque. — Les trois premiers de ces théorèmes font partie des Éléments de Géométrie d'Euclide (Livre XI, propositions 28, 29, 30.)

Legendre a démontré ces trois mêmes théorèmes, ainsi que le quatrième, et, après avoir établi la mesure du parallélipipède rectangle , il se fonde sur les théorèmes IV et I pour obtenir les mesures d'un parallélipipède quelconque et d'un prisme quelconque.

468. Vérifier par la Géométrie les formules qui donnent les cubes de a -i- ft et de « — 6; la formule

a" -b^={a — b)[a''hab-hb').

469. Par une droite donnée, mener un plan qui divise un parallélipipède en deux parties équivalentes.

470. Si, du sommet de l'angle droit d'un triangle ABC, rectangle en A, on abaisse sur Thypoténuse la perpendiculaire AD et qu'on projette les deux segments de l'hypoténuse sur les côtés de l'angle droit adjacents à ces segments.

1** Les cubes construits sur les côtés de Tangle droit seront entre eux comme les projections BE, CF des segments de Thypoténuse sur les côtés AB, AC;

2" Le cube construit sur la hauteur AD sera équivalent au parallélipipède qui aurait pour dimensions Thypoténuse et les projections BE, CF, des segments de cette hypoténuse;

3° Les perpendiculaires DE, DF, abaissées du pied de la hauteur AD sur les côtés de Tangle droit, sont deux moyennes proportionnelles entre les projections BE, CF des segments de l'hypoténuse, en sorte qu'on a