II. -— Sur l'homogénéité

On appelle expression homogène, équation homogène, une expression ou une équation dont tous les termes sont du même degré.

Lorsque les lettres représentent des lignes, le degré d'un terme est égal à la somme des exposants des facteurs algébriques qui entrent dans ce terme. Ainsi ^a^b^c est du sixième degré.

Le degré d'un terme fractionnaire est le degré du numérateur, diminué de celui du dénominateur; et le degré d'un terme irrationnel s'obtient en divisant le degré de la quantité placée sous le radical par l'indice de ce radical.

Si, dans une équation telle que abc=:^BS, les lettres a, b, Cy R représentent des lignes et que S désigne une surface, l'équation est encore homogène; car une surface est considérée comme un produit de deux dimensions.

Remarque. — Lorsqu'on applique l'Algèbre à la résolution d'un problème de Géométrie, si aucune ligne considérée dans la question n'est prise pour unité, l'équation ou les équations qu'on obtient doivent être homogènes.

On reconnaît facilement que ce principe est vérifié pour toutes les égalités auxquelles donnent lieu les théorèmes des Éléments de Géométrie. Par exemple , en représentant par «, ^, c l'hypoténuse et les côtés de l'angle droit d'un triangle rectangle, on a Téquation homogène

«^ = ô' H- c' ; mais, si l'hypoténuse a est prise pour unité, on a l'équation

qui cesse d'être homogène.

Dans ce cas, les lettres ^, c expriment les rapports des côtés de l'angle

droit à l'hypoténuse, et, si l'on veut rétablir l'homogénéité, il faut rem-

h c placer ces lettres par les rapports -^ -; alors il vient

ou «^=^'-^-c^

On procède de la même manière pour rétablir l'homogénéité dans une relation géométrique non homogène. Si l'on désigne par / la ligne qui a été prise pour unité, il faut remplacer les lettres a, b, c^ ... par les rap- ^ a b c

pOrtSy> y, y, ....

Les formules que l'on construit doivent être homogènes.

Le principe de l'homogénéité offre cet avantage : lorsqu'on fait des calculs relatifs à des équations homogènes, toutes les relations qu'on oblient doivent être aussi homogènes, et, s'il n'en est pas ainsi, on doit en conclure qu'on a commis des erreurs de calcul.

308. Construire un triangle équilatéral et équivalent à un carré donné m\ (On connaît la forme et la grandeur du