LES PERMUTATIONS CIRCULAIRES
Nous devons faire une remarque sur la solution d'Ozanam ; l'auteur considère toutes les places comme absolument distinctes ; cependant lorsque les convives sont placés autour d'une table ronde, et que l'on ne tient pas compte du voisinage de la cheminée, de la porte ou d'une fenêtre, la position respective ne change pas, si, à un signal donné, les convives se lèvent tous et vont s'asseoir sur le siège de leur voisin de droite ; doit-on alors considérer ces deux dispositions comme distinctes ? Non, en vérité, si la table est ronde ; et comme les convives peuvent encore se déplacer simultanément d'un rang vers la droite, et ainsi six fois successivement, on est amené à reconnaître que l'auteur a compté comme distinctes sept permutations rectilignes qui ne font qu'une seule et mèvaQ permutation circulaire. En conséquence, le nombre des dîners des sept convives ou des permutations circulaires de sept objets n'est que le septième de 5040 ou 720.
Le jeu du taquin. jgj
En outre, on doit observer qu'au lieu de se placer de gauche à droite, les convives peuvent tous se placer de droite à gauche, de telle sorte que le voisin de droite est devenu celui de gauche, et inversement. Il faut donc encore diviser par 2 le nombre trouvé; cela ne fait plus que 3 60 dîners, et les convives en seront quittes à la fin de l'année.
Il nous reste à parler des dérangements produits par ces permutations; cela fait, nous reprendrons le casse-tête.
LES DERANGEMENTS.
Avec deux objets, les chiffres 1 et 2, par exemple, on forme les deux permutations rectilignes
12 et 21.
Dans la première, les objets sont rangés dans l'ordre naturel; dans la seconde, il y a inversion de cet ordre; on dit alors que la permutation contient un dérangement^ parce que le chiffre 2 est placé avant le chiffre 1.
Pour former les permutations des trois chiffres i, 2, 3, on place le chiffre 3 après l'une des deux permutations précédentes, et l'on a ainsi
123 et 213;
on n'a introduit aucun dérangement nouveau, puisque le chiffre 3 vient après 1 et 2, dans l'ordre naturel. Mais si nous faisons avancer ce chiffre d'un rang vers la gauche,
132 et 231,
[qS Huitième récréation.
nous introduisons alors un dérangement dans la première permutation, et un nouveau dérangement dans la seconde; en faisant avancer encore le chiffre 3, comme ci-dessous,
312 et 321,
la permutation 312 contient deux dérangements, et la suivante 321 en contient trois. Il y a lieu, dès maintenant, de donner la définition du dérangement; il y a dérangement ou inversion dans une suite dénombres différents écrits sur une ligne horizontale dans un ordre quelconque, toutes les fois qu'un nombre se trouve placé à la gauche d'un nombre plus petit.
Pour compter le nombre des inversions d'une permutation, on peut procéder de deux manières différentes : i° en comptant pour chaque terme le nombre des termes qu'il commande^ ou qui sont à sa droite, plus petits que lui, et faisant le total pour tous les termes ; 2° en comptant pour chaque terme le nombre de ceux qu'il subit, ou qui sont à sa gauche plus grands que lui. Il est évident que, par les deux procédés, on obtiendra le même résultat final; cependant, suivant les cas, il est préférable d'employer Tun ou l'autre de ces deux procédés.
