LA PRATIQUE DU TAQUIN

Reprenons la permutation des quinze nombres

8, 6, 12, I, 5, 14, 2, II, i3, i5, 4, 9, 3, 10, 7,

et admettons que Ton ait le droit de faire avancer un pion quelconque de deux rangs vers la gauche ou vers la droite; il est facile de voir que l'on peut ranger tous les numéros dans l'ordre, si la permutation est de première classe. En effet, faisons avancer le numéro i de deux rangs vers la gauche, il arrive au second rang; puis, en déplaçant 8 de deux rangs vers la droite, on obtient

I, 6, 8, 12, 5, 14, 2, II, i3, i5, 4, 9, 3, 10, 7.

Le numéro i est à sa place; faisons avancer à son tour le numéro 2 de deux en deux rangs, il arrive au troisième, et en déplaçant 6 de deux rangs vers la droite, on obtient

I, 2, 8, 6, 12, 5, izL. II. i3. i5, 4, 9, 3, 10, 7.

Le jeu du taquin.

En déplaçant le numéro 3 de deux en deux rangs vers la gauche, puis le numéro 4, on obtient

1,2,3,4,8,6, 12, 5, 14, II, i3,i5, 9, 10,7.

Et ainsi de suite ; de cette façon on peut toujours placer dans l'ordre les treize premiers pions; les deux derniers se trouveront dans l'ordre 14, iS, si la permutation est de première classe, et dans l'ordre i5, 14, si la permutation est de seconde classe. Ainsi, par cette manœuvre, on peut ranger une permutation quelconque dans l'ordre

1,2, 3, ..., i3, 14, i5; ou dans Tordre

1,2,3,..., i3, 15,14 Cela posé, considérons le taquin de forme suivante {fig. 48) :

Fig. 4?.

Le taquin élémentaire.

dans laquelle la ligne pleine est une barrière infranchissable; en profitant de la case vide, on peut sans changer l'ordre des termes dans le circuit AHIP, amener un numéro quelconque en B, puis la case vide en O; cela fait, si l'on glisse le cube de B en O, le terme B est avancé de deux rangs vers la gauche du circuit; par le mouvement inverse on l'avance de deux rangs E. Lucas. — Récréations mathém, 14

Huitième récréation.

vers la droite (*). Par conséquent, il résulte des considérations exposées au commencement de ce paragraphe, que Ton peut toujours amener dans un ordre donné une permutation de même classe; et dans l'ordre donné, à V exception des deux derniers numéros, une permutation de classe différente.

Il est d'ailleurs parfaitement évident que le même procédé de raisonnement s'applique au taquin ordinaire, en restreignant la règle du jeu par l'emploi de barrières figurées par des lignes pleines ; les cases forment alors un circuit fermé {fîg, 49).

Fig. 49.

Le taquin gêné.

En résumé^ par la considération des cycles, on détermine d'abord la classe de la position initiale donnée; pour plus de commodité, on mettra immédiatement la cas^ vide en G. Cela fait, on rangera facilement les cubes des deux premières lignes ou des deux premières colonnes dans l'une des quatre positions directes ou des quatre positions inverses suivant que la position donnée est de première ou de seconde classe; il reste ensuite à

(*) Cette démonstration, très simple, m'a été indiquée par M. Laisant.

Le jeu du taquin.

placer les sept autres cubes dans un taquin élémentaire de huit cases, par la manœuvre indiquée pour le taquin de la^^. 48.

On peut encore résoudre le problème du taquin de la manière suivante. On détermine d'abord, par la méthode expéditive des cycles, la classe de la position donnée; si cette position est de première classe, on la ramène, comme il a été dit, à la position fondamentale; si cette position est de seconde classe, on échange deux éléments quelconques ; elle devient de première classe, et peut encore être ramenée, après cet échange, à la position fondamentale.

On peut remplacer cet échange par l'enlèvement d'un cube situé sur une case de même couleur que la case vide, en le plaçant sur cette case.