LES PONTS DE PARIS EN I

Nous ferons maintenant l'application des règles démontrées dans ce Mémoire au problème suivant : Est-il possible de passer successivement sur tous les ponts de Paris sans passer deux fois sur Vun d'eux?

Nous ne comprenons dans ce problème que les ponts jetés sur la Seine, sans tenir compte des canaux. Dans le parcours du fleuve à travers Paris^ on ne rencontre que trois îles, à savoir : l'île Saint-Louis, la Cité et l'île des Cygnes. Par conséquent on doit compter cinq régions différentes : les deux rives et les trois îles.

E. Lucas. — Récréations mathém. 3

3 j. Deuxième récréation.

Mais, parmi ces cinq régions, l'île des Cygnes et la Cité sont des régions paires; à la première aboutissent les deux parties du pont de Grenelle; à la Cité aboutissent dix ponts, savoir : i° au sud, le pont de l'Archevêché, le pont au Double, le Petit-Pont, le pont Saint-Michel et la partie méridionale du Pont-Neuf; 2° au nord, le pont Saint- Louis, le pontd'Arcole, le pont Notre-Dame, le pont au Change et la partie septentrionale du Pont- Neuf. L'île Saint-Louis est une région impaire à laquelle aboutissent sept ponts : au sud, la partie méridionale du pont Sully, le pont delà Tournelle et le pont Saint- Louis; au nord, la partie septentrionale du pont Sully, le pont Marie et le pont Louis-Philippe; mais il faut ajouter VEstacade, pont en bois qui aboutit à la rive droite. Quant aux deux rives, il n'est pas nécessaire de connaître le nombre des ponts ; il est facile de voir que Tune d'elles est une région impaire et l'autre une région paire. En effet, il a été démontré au n" 17 que le nombre des régions impaires est toujours pair; or, sur les cinq régions, deux sont paires et une impaire; il est donc nécessaire que l'une des rives soit le point de départ d'un nombre impair de ponts.

D'autre part, puisqu'il n'y a que deux régions impaires, le problème proposé est toujours possible. En d'autres termes, un voyageur peut disposer son parcours de telle sorte qu'il puisse passer une fois, et une seule, sur tous les ponts qui aboutissent à la Cité et à l'île Saint- Louis et sur un nombre quelconque de ponts joignant directement les deux rives de la Seine. Mais le promeneur est toujours forcé de prendre l'île Saint- Louis pour point de départ ou d'arrivée .

On observera d'ailleurs que si l'on ne tient pas compte de VEsiacade, le problème devient d'une très grande simplicité.

Le jeu des ponts et des îles.