LES FIGURES D UN SEUL TRAIT. — LA SIGNATURE DE MAHOMET

On se propose quelquefois de dessiner, d'un seul trait non doublé, la figure formée parles quatre côtés d'un rectangle et ses deux diagonales. Ce problème est semblable à celui des ponts deKœnigsberg; soient A, B, C, D les sommets du rectangle, E l'intersection des diagonales. On peut considérer les cinq points A, B, C, D, E comme les centres de cinq régions; quatre d'entre elles, A, B,G, D, sont impaires; donc le problème est impossible Cependant on pourrait dessiner cette figure en doublant tous les traits.

Fie. 3.

Fig. 4.

Ces considérations s'appliquent à la description par un seul trait de toutes les figures de Géométrie formées de lignes droites ou courbes, dans le plan ou dans l'espace. Ainsi on démontrera très facilement que l'on peut décrire d'un seul trait la figure formée par les côtés et toutes les diagonales d'un polygone convexe d'un nombre impair de côtés, et que le problème est impossible pour les polygones d'ordre pair, comme le carré, l'hexagone. De même, on peut décrire d'un seul trait l'ensemble des arêtes de

Deuxième récréation.

Toctaèdie régulier, tandis qu'on ne peut le faire pour les quatre autres polyèdres réguliers convexes.

Je me suis laissé dire que Mahomet dessinait d'un seul coup, avec la pointe de son cimeterre, sa signature formée de deux croissants opposés, conformément à la Jîg-. 5. En effet, cette

Fiiî. 5.

figure ne contient que des points d'ordre pair, et peut se décrire

d'un seul trait continu,

Lafig. 6 ne contient que deux points impairs A et Z; par conséquent, on peut la décrire d'un seul trait continu allant de A à Z ou inversement. On peut réaliser un jeu, en dessinant cette figure en grand sur une feuille de carton ; on place de petits jetons sur le milieu de toutes les lignes qui joignent deux points

Le jeu des ponts et des îles.

voisins; il s'agit alors de déterminer le parcours à suivre pour enlever tous les jetons successivement. Cette figure est extraite de l'opuscule ayant pour titre : Vorsludien \iir Topologie, par Johann Benedict Listing; cet ouvrage curieux m'a été gracieusement communiqué par M. Moritz Cantor, professeur à l'Université de Heidelberg.

La Jîg. 7 contient huit points impairs et ne peut être décrite en moins de quatre traits continus; ce théorème a été énoncé par

Fig. 7.

Fig. 8.

Clausen, dans le n° 494 des Astronomische Nachrichten. La fig. 8 représente un fragment de mur en maçonnerie; elle contient douze points impairs, et ne peut être décrite en moins de six traits continus.

De même, la figure qui représente l'échiquier ordinaire de soixante-quatre cases renferme vingt-huit points impairs, et ne peut être décrite en moins de quatorze traits; la figure du damier de cent cases nécessite la succession de dix-huit traits continus.

Si l'on divise les côtés d'un triangle en n parties égales, et si l'on joint les points de division correspondants par des lignes parallèles aux côtés, on obtient une figure qui ne contient que

38 Deuxième récréation, — Le jeu des ponts et des îles.

des points d'ordre pair, et que l'on peut décrire d'un seul trait, etc.