DESIDERATUM

Nous venons d'indiquer tout ce qui est connu, ou à peu près, sur le problème des reines. Mais si l'échiquier a 9 ou lo cases sur le côté, le problème se complique de telle sorte que l'on ne connaît pas le nombre de solutions. Peut-être y aurait-il quelque intérêt à déterminer le nombre des solutions du problème pour les échiquiers de 81,100, 121 et 144 cases. Alors il se pourrait que l'observation du tableau du nombre des solutions pour tous les échiquiers de 2 à 12 cases de côté pût conduire soit à d'autres méthodes de recherche, soit à des propriétés nouvelles des nombres entiers. La grande difficulté du problème tient à ce que le nombre des permutations de n objets augmente considérablement avec n, et que, par suite, le nombre des permutations qui ne conviennent pas au problème des k reines augmente lui-même très rapidement.

Pour l'échiquier de 11 cases de côté, on peut trouver immédiatement diverses solutions simples, que l'on déduit de la considération de la progression arithmétique. Désignons, pour abréger, par a le nombre dix, et par b le nombre onze; formons les progressions arithmétiques suivantes, dans lesquelles nous supprimons les multiples de onze, le nombre b pouvant être remplacé par zéro :

8^ Quatrième récréation.

Progression i, 3, 5, 7, 9, Z', 2,4, 6, 8, ^, déraison 2

Toutes ces solutions conviennent au problème des onze reines; sur l'échiquier, ces solutions représentent encore ce que l'on appelle les armures des satins réguliers sur on:{e lames, dont nous avons donné la théorie générale dans l'opuscule : Principii fondamentali délia geometria dei tessuti[').

THÉORÈMES d'aRITHMÉTIQUE.

Considérons une progression arithmétique de raison r :

si l'on prend les restes de la division des différents termes par un nombre i?, il ne peut y avoir plus dep restes différents; d'ailleurs, ces restes se reproduisent périodiquement de p 'en p. Pour que tous les restes soient distincts, il faut et il suffit que le nombre j? soit premier avec la raison r. En effet, désignons par r^ et r^, les

(') LIngegneria Civile e le Arti Industriali. Anno VI, fasc. 7» ed 8». Torino, 1880.

Le problème des huit reines. 85

restes de rangs m et w, on a (')

r,n^a-\- [m- i)r, (Mod. p), rn^ a-\-[n— \)r^ (Mod. p),

et, par différence,

r,n — rn^{m — n)r, (Mod.;?).

Par conséquent, si les restes r,n et rn étaient identiques, le produit {m — n)r serait divisible par p; mais p étant supposé premier avec r diviserait le nombre {m — n) plus petit que lui; ce qui est impossible. Donc :

Théorème \. — Si Von divise par un nombre p premier avec la raison, p termes consécutifs d'une progression arithmétique formée de tiomhres entiers, tous les restes sont différents.

On dit alors que ces restes forment un système complet de résidus suivant le module p.

Supposons, de plus, que p désigne un nombre premier avec la raison, et avec la raison augmentée ou diminuée de l'unité; on a alors le théorème suivant :

Théorème II. — Si Von divise p termes consécutifs d'aune progression arithmétique de raison r par un nombre p premier avec chacun des nombres r, r -i- i, r — i, /a différence de deux restes quelconques n'est jamais, en valeur absolue, égale à la différence des rangs qu'ils occupent dans la progression.

(') La notation a ^ b, (Mod. p), veut dire que a ti b diffèrent d'un multiple quelconque de p] elle se lit a congru à b suivant le module p. Elle a été imaginée par Gauss; c'est une excellente notation qui, malheureusement, n'a pas encore été adoptée, en France, d'une manière générale.

86 Quatrième récréation. — Problème des huit reines.

En effet, si l'on supposait

r„, — r„=ih(m~?î), [Mod. p], on en déduirait, d'après ce qui précède,

{m — n}r^±:[m~n)^ (Mod.;;), ou bien

(m — w) (r liz i) = o, (Mod. j?).

Doncp premier avec r =t i diviserait le nombre (m — n) plus petit que lui; ce qui est impossible.

Il résulte de ces deux théorèmes que l'on peut, dans beaucoup de cas, trouver un grand nombre de solutions du problème des p reines, en supposant que p désigne un nombre impair, non divisible par 3.