PROCEDE GENERAL DE RECIPROCITE

Nous avons donné plus haut la solution du solitaire pour la case initiale 73, et nous avons obtenu la boule finale 42. Par conséquent on peut, par une marche renversée de coups additifs, remplir le solitaire, en prenant pour case initiale 42, mais la case finale 73 restera vide. Nous avons vu que l'on obtient l'écriture de cette solution en coups additifs: i°en renversant Tordre des fractions; 2° en échangeant les termes de chaque fraction.

Cela posé, considérons deux solitaires complémentaires, c'està-dire tels que les cases pleines de l'un correspondent toujours aux cases vides àt l'autre, et réciproquement; alors les coups additifs de l'un correspondent aux coups soustractifs de l'autre.

Par conséquent, si l'on part d'une boule initiale 42, et qu'on remplisse le solitaire par coups additifs, à Texception de la case 73, on obtient une réussite ordinaire, par coups soustractifs, sur le solitaire complémentaire ne contenant que la case vide 42; il reste la boule finale 73.

Pour déduire immédiatement la réussite de case initiale 42 et de boule finale 73, de la réussite de case initiale 73 et de boule finale 42, il suffit de renverser, dans la solution de cette dernière, l'ordre des fractions, mais sans renverser les termes de chacune d'elles. Ainsi, la réussite de case initiale 42, déduite de la réussite 73, sera

C'est en cela que consiste le procédé général de réciprocité.

E. Lucas. — Récréations mathér

114 Cinquième récréation.

PROCÉDÉ GÉNÉRAL d'ÉCHANGE.

Nous avons vu que la réussite de case initiale 73 peut se terminer indifféremment par la case 42 ou par la case 45. Par conséquent, la réussite de case initiale 45 a pour solution

Elle ne diffère de la précédente que par le premier coup.

En général, désignons par a, b, c,^ quatre cases consécutives,

et supposons que la réussite se termine par le coup -; on pourra

tout aussi bien terminer par le coup ^- De même, si une réussite

commence par le coup -, sur l'ensemble de quatre cases consécutives A, B, G, D. on pourra échanger la case A par la case D, et la réussite ne différera de la précédente que par le premier

coup p au lieu de ^. C'est en cela que consiste le procédé

général d'échange des cases initiales ou des cases terminales.

Il résulte de ces considérations de symétrie, de réciprocité et d'échange, que nous avons donné les réussites possibles du solitaire de trente-sept cases, en prenant successivement pour case initiale toutes les cases convenables.

COUPS TRIPLES DU SOLITAIRE ACCÉlÉRÉ.

On peut, dans un grand nombre de problèmes, accélérer la marche du solitaire par le coup ?np/e imaginé par M. Hermary.

Le jeu du solitaire.

iib

Considérons l'ensemble formé par trois cases consécutives pleines B, C, D, et par deux autres cases A et A'^ dont l'une pleine et l'autre vide, conformément à Fune des quatre dispositions que nous avons représentées dans hs/ig, 27, 28, 29 et 3o

Fig. 27.

Fig. 28.

Fig. 29.

Fig. 3o.

Si la case A' est vide et les quatre autres pleines, on fera successivement les trois coups

si la case A est vide, et les quatre autres pleines, on fera

Dans ces deux cas^ les trois boules consécutives B, G, D ont disparu, pendant que la quatrième est revenue à sa place. On peut effectuer cette manœuvre d'un seul coup, en enlevant les trois boules B, C, D, sans toucher à A ou à A'. Nous désignerons

ce coup triple par Tune des fractions r^ ou -r-) mais en chiffres

gras. Nous donnerons quelques exemples de ce procédé.

Exemple I. — Marche accélérée du Lecteur au milieu de son auditoire. — On enlève d'abord du solitaire complet la boule

centrale 44, et par un coup simple — ? on enlève la boule 54; on

ii6 Cinquième récréation.

effectue ensuite les six coups triples :

Comparer celte solution, due à M. Hermary, avec celle que nous avons donnée dans le Problème XXI.

Exemple II. — Marche accélérée des dju^e Apôtres. — On enlève la boule centrale 44, puis on fait les huit coups triples :

Exemple III. —Le Carré de vingt-cinq boules, — On dispose sur le solitaire vingt-cinq boules en carré ayant pour sommets les cases 22, 26, 62, 66.

On réduit la figure à une seule boule au centre par les huit coups triples :

Cette marche est peu différente de la précédente; chaque paire de coups triples est intervertie.

Exemple IV. — Le Tricolet. — Du solitaire complet on enlève la boule 44; puis on fait successivement quatre groupes de coups superposables, en tournant à chaque fois le solitaire d'un quart de tour; ces groupes sont formés d'un coup triple, marqué d'un astérisque, suivi de deux coups simples :

Le jeu du solitaire.

Il reste seize boules que l'on ramène à douze en jouant les quatre coups simples

4 5, H, il, H(').

Exemple V. — Réussite sur le solitaire de quarante et une cases.

Le solitaire de quarante et une cases a la forme représentée dans lajig. 3i.

Firr. 3i.

C'est le solitaire ordinaire bordé des quatre cases 04, 40, 48 et 84. Nous donnerons le tableau des coups de la réussite que Ton obtient en prenant 46 pour case initiale. Ce tableau renferme un

(* ) Encyclopédie méthodique. — Dictionnaire des jeux mathématiques. Paris, an VII, p. 202.

ii8 Cinquième récréation.

mélange de coups simples et de coups triples :

Cette réussite est due à M. Hermary.

Remarque. — Dans les solutions des trente premiers problèmes, on rencontre un assez grand nombre de coups triples. Ainsi dans le grand Bol {Prob, XXIII), le premier coup est suivi de quatre coups triples.