DES POSITIONS ET DES CASES CONGRUENTES
Nous dirons que deux positions de boules sur le solitaire indéfini sont congruentes lorsque Ton peut passer de l'une à l'autre par les divers systèmes de coups qui résultent de l'emploi de la règle complète. Nous allons d'abord montrer l'effet de la règle complète sur un certain nombre de positions, par une marche accélérée, analogue à celle des coups triples.
Théorème I. — On peut toujours enlever trois boules situées sur trois cases consécutives.
En effet, il suffit de se reporter à la marche du coup triple ordinaire. La règle ordinaire suppose vide l'une des cases A et A^ et l'autre pleine; mais par les extensions III et IV, les deux conditions précédentes ne sont plus nécessaires ; ces deux cases peuvent être, en même temps, vides ou remplies; nous avons alors le coup triple théorique.
Théorème II. — On peut toujours enlever ou ajouter deux boules^ ou un nombre pair de boules sur une case quelconque G.
En effet, considérons trois cases consécutives B, G, D; nous pouvons jouer, même lorsque les cases B et D sont vides, par
Le jeu du solitaire.
l'extension IV, les deux coups soustractifs ^^j -^r; l'état des cases
B et D n'a pas changé, mais la case G possède deux boules de moins. Par deux coups additifs, on peut ajouter deux boules sur la case G.
Théorème III. — On peut toujours faù^e franchir à une boule quelconque deux cases consécutives dans un sens quelconque, soit sur une ligne ou sur une colonne.
En effet, considérons quatre cases consécutives A, B, G, D, situées sur la même ligne, ou sur la même colonne, et une boule en A. Par un coup additif de A en C, et par un coup soustractif de B en D, on amène une boule de A en D, sans modifier l'état des cases B et G.
En répétant plusieurs fois la même opération, on peut déplacer une boule sur des cases A, D, . . ., en franchissant chaque fois deux cases consécutives. Toutes les cases séparées par deux cases consécutives seront dites congruentes , et Ton peut porter les boules d'une case dans l'une de ses congruentes (^).
