RESIDU CONGRUENT SUR UN CARRE DE NEUF CASES

Par l'application de la règle complète, on peut démontrer le théorème suivant, qui est le fondement de la théorie du docteur Reiss.

Théorème IV. — Quelle que soit la position des boules du solitaire indéfini, on peut toujours réunir toutes ces boules dans un carré formé par neuf cases contiguës et choisi arbitrairement.

En effet, sur l'étendue du solitaire indéfini^ prenons arbitrairement un carré de neuf cases contiguës; on peut déplacer une boule quelconque du solitaire (Théorème III), de trois en trois rangs, dans le sens horizontal, jusqu'à ce qu'elle se trouve sur une colonne ou sur le prolongement d'une colonne du carré choisi; cela fait, on peut ensuite déplacer cette boule de trois en trois rangs, dans le sens vertical, jusqu'à ce qu'on l'amène sur une des

i\)S\[a,b, c) et (a', b\ c') désignent les nombres de boules situées sur trois cases consécutives A, B, G, avant ou après un coup additif ou soustractif portant sur ces trois boules, on a

<3 = a'+ I, (Mod. 2), b = b'-\-ï, (IVfod. 2), c = c'+ I, (Mod. 2).

Le jeu du solitaire. i23

cases du carré. Il est facile de voir qu'une case quelconque possède toujours une case congruente, et une seule, sur un carré de neuf cases arbitrairement clioisi.

En opérant successivement pour toutes les boules du solitaire, on les placera sur le carré de neuf cases; cette nouvelle position est ce que nous appellerons un résidu congruent sur un carré de neuf cases, choisi arbitrairement.

On peut déduire de ce théorème la théorie des impossibilités par remploi de la règle complète, ainsi que l'a fait le docteur Reiss; mais il est préférable de se servir des théorèmes suivants, imaginés par M. Hermary, qui d'ailleurs les avait obtenus directement sans connaître les travaux de ses prédécesseurs.