POSITION REDUITE
Théorème V. — Quelle que soit la position des boules du solitaire indéfini., on peut toujours les remplacer, par l'emploi de la règle complète, par une position congruente renfermée davs un carré formé de quatre cases et choisi arbitrairement.
En effet, choisissons d'abord un carré de quatre cases, indiqué par les cases couvertes de Idfig. 32, sans nous occuper, pour l'instant, des lettres qui la recouvrent, et bordons ce carré de cinq cases vides; nous formons ainsi un carré de neuf cases sur lesquelles nous pouvons établir le résidu congruent, par l'application du théorème précédent.
Désignons par ao, ^o, ^o ; <^i? ^i, Ci ; a^, b^^ Ca, les nombres de
Cinquième récréation.
boules qui se trouvent placées sur chacune des neuf cases; nous formons ainsi Isl fig, 32 :
Fig. 32.
ai
bi
ào
Co
Par trois coups additifs^ de haut en bas, on obtient {fig, 33) :
Fig. 33.
ûi -h a^
bi-hbo
bo+b.
Cû+Cj
Le jeu du solitaire.
Par deux coups additifs, de droite à gauche, on obtient {Jîg. 34)
Fig. 34.
+ Cl + Ta
+ ^0+^2 + Co + C,
+ Co4-C2
Par conséquent, nous avons remplacé la position quelconque du solitaire indéfini par une position congruente sur un carré formé de quatre cases et choisi arbitrairement.
Mais, par l'application de la règle complète (Théorème II ), on peut supprimer ou ajouter un nombre pair de boules sur une case quelconque. Par conséquent, sur ce carré de quatre cases, on pourra continuer l'opération jusqu'à ce qu'il ne reste qu'une seule boule sur chaque case, ou qu'il n'en reste plus. On obtient alors ce que l'on appelle le résidu ou la position réduite de la position considérée sur le solitaire par rapport au carré donné. Cela posé, on a encore la proposition suivante :
Théorème VI. — Toutes les positions congruentes du solitaire indéfini ont la même position réduite par rapport à un même carré de quatre cases.
En effet, supposons qu'avant d'avoir effectué la position con-
126 Cinquième récréation.
graente sur le carré de neuf cases, on ait joué un coup, par l'application de la règle complète; ce coup aurait modifié d'une unité, en plus ou en moins, trois nombres, tels que Ji, a-2, ^3 de même lettre, ou les trois nombres ^1, Z^i, Ci, de même indice; les nombres du carré de quatre cases {fig. 3/\) auraient été modifiés de o ou de 2 unités, et leur parité n'aurait pas changé.
Un nombre quelconque de coups n'altère donc pas la parité du nombre des boules du carré de quatre cases, et, par suite, n'altère pas la position réduite. c. q. f. d.
