APPLICATIONS DE LA THEORIE

Il est évident que l'on peut concevoir des solitaires limités dont la forme est quelconque, ainsi que le nombre des cases; on peut même supposer des solitaires irréguliers^ que Ton peut déduire des solitaires de forme régulière en supprimant des cases dans l'intérieur ou sur les bords. Mais, quelle que soit la forme du solitaire, il est évident que tout problème impossible sur le solitaire indéfini l'est, à fortiori, sur le solitaire limité.

On a le théorème suivant, inverse du précédent :

Théorème VII. — Pour pouvoir passer, par la règle complète, d'une position donnée du solitaire indéfini à une autre aussi donnée, il faut et il suffit que les deux positions aient la même position réduite sur le même carré de quatre cases.

En effet, on peut passer de la première position à la position réduite; puis, on peut passer de celle-ci à la seconde position en renversant le sens des coups qui permettent de passer de la seconde position à la même position réduite, et en renversant encore l'ordre des coups. Renverser le sens d'un coup, c'est remplacer le coup additif par le coup soustractif; par conséquent, le

Le jeu du solitaire. 120

coup soustractif ou additif -r doit être remplacé par le coup

additif ou soustractif — - A

Par conséquent, dans le cas du solitaire restreint, si l'on se propose de passer d'une position à une autre, il faut d'abord que ces deux positions aient la même position réduite sur le carré de quatre cases; mais on doit observer que cette condition n'est pas suffisante. En supposant citte condition admise^ le problème pourrait encore être impossible; cette théorie laisse donc une grande part à la sagacité du joueur; mais elle lui épargne cependant des recherches nécessairement infructueuses, en lui permettant de reconnaître les problèmes qui ne comportent pas de solution théorique.

Dans le théorème précédent, nous avons considéré le problèir/* général du solitaire, qui consiste à passer d'une position donnée à une autre également donnée; dans les théorèmes suivants, nous ne considérons que le cas de la réussite, qui consiste, comme nous l'avons dit, à réduire une position donnée à une seule boule. En se reportant à une position congruente sur un carré de neuf cases déduite de l'une des seize classes de positions réduites, on obtient les trois théorèmes suivants :

Théorème VIII. — Lorsqu'une position initiale donnée permet d'obtenir une réussite de plusieurs manières différentes, les cases terminales sont nécessairement congruentes.

Théorème IX. — Lorsquhine position initiale domiée ne peut être réduite à une seule boule sur une case terminale, elle ne peut être réduite à une seule boule sur une case terminale congruente.

E. Lucas. — Récréations ma! hem. n

i3o Cinquième récréation.

Théorème X. — Si Von ne peut obtenir une réussite en partant d'une certaine case initiale, on ne pourra obtenir de réus site en partant d'une case initiale congruente.

Ces trois théorèmes ne sont que des cas particuliers du théorème VII.