LES BOÎTES DE POIDS

Nous donnerons d'abord le tableau des trente-deux premiers nombres écrits dans le système binaire :

iq

mil

Il est facile de continuer ce tableau aussi loin que l'on veut ; on voit immédiatement qu'un nombre quelconque peut être formé par l'addition des nombres suivants :

qui représentent, avec l'unité, toutes les puissances de deux.

[52 Sixième récréation.

Mais dans cette addition^ chaque nombre ne doit être pris qu'une seule fois. En d'autres termes, un nombre entier quelconque est une somme de puissances de deux, toutes dift'érenteSj en admettant l'unité comme puissance d'exposant :{éro. Cette propriété pourrait être utilisée dans le commerce; ainsi, pour peser un nombre entier de grammes, on peut employer une boîte contenant chacun des poids suivants :

lS% 2S% 4»% 88% 168% 32S%

Avec six poids, on pourrait ainsi peser jusqu'à ôSs""; avec n poids, on pourrait peser jusqu'à un nombre de grammes représenté par la formule

Mais les boîtes sont composées d'une manière bien différente, car elles contiennent les poids :

et ainsi de suite. On voit, en effet, qu'avec les nombres i, 2, 2, 5, on peut former, par addition, tous les nombres de i à 10. Ces boîtes présentent l'avantage d'êire plus en rapport avec le système ordinaire de la numération décimale, et, par conséquent, l'opération de la pesée n'exige aucun effort d'esprit; mais, jusqu'à une limite quelconque, il faut moins de poids dans le système binaire que dans le système décimal.

Les nombres de la progression triple

La numération binaire. id3

ont une propriété analogue, qui consiste en ce qu'en les ajoutant ou en les retranchant d'une certaine manière, on forme tous les nombres entiers possibles. Cette propriété remarquable se démontre très simplement au moyen du système de la numération ternaire ou de base 3, modifié par l'introduction de caractères négatifs. Ainsi, en convenant qu'un petit trait placé au-dessus d'un chiffre i, 2, 3, . . ., exprimée que le nombre indiqué par ce chiffre avec sa valeur de position doit être retranché, on peut écrire tous les nombres du système décimal avec les cinq premiers chiffres significatifs i, 2, 3, 4, 5, et le caractère o. Par exemple, 6 serait exprimé par 14; 7 par i3, et ainsi de suite. Si l'on applique cette considération au système ternaire, on arrive à écrire tous les nombres avec les caractères i, i et o. Ainsi, les nombres

peuvent être représentés par les symboles

I, II, 10, II, III, iio, III, loi, 100.

On pourrait encore utiliser cette propriété pour la pesée, en répartissant convenablement les poids de i^"", 3°'', g»"", 2-]^% .... entre les deux plateaux d'une balance, pour évaluer^ avec le moindre nombre possible de poids différents, les masses qui peuvent être exprimées en nombres entiers.

Ainsi, avec quatre poids de i^^, 3^% gs"", 27s'", on pourra peser jusqu'à 40^''; avec les cinq poids de i^', 3=% qS"", 27^'", SiS", on pourra peser jusqu'à I2I°^ En général, avec n poids j 3 32 33 3«— 1

on pourra peser jusqu'à un nombre de grammes représenté par

54 Sixième récréation.

l'expression- (3"— i). La progression géométrique de raison 3 résout le problème énoncé par M. Labosne sous la forme suivante : Trouver une série de poids avec lesquels on puisse faire toutes les pesées en nombres entiers, depuis i jusqu^à la somme des poids employés, cette somme étant la plus grande possible relatipement au nombre de poids (').