C. R., 1898, i'^ Semestre. (T. CX.WI, N
MÉCANIQUE APPLIQUÉE. — Sur la flexion des pièces épaisses. Note (le M. RiBiÈuE, présentée par M. Sarrau.
« Soit une poutre rectangulaire de longueur 2a, de hauteur 2/;, encastrée à ses deux extrémités et que je suppose, pour réduire le problème à deux dimensions, de largeur indéfinie.
» Je désigne par N, et Nj les efforts normaux sur les éléments perpendiculaires à OX, axe longitudinal, et OY, axe transversal, et par T l'effort tangentiel.
» Dans un précédent travail (' ), j'ai démontré que, pour une poutre de ce genre supportant des charges normales à sa longueur, les équations générales de l'élasticité étaient satisfaites par les séries
N, ^ - — mco?,Tnx\{2.a^ — 3«.)e"'-' — (:i//, — 3/^2)6""'' — -ima-^ye'"^ — ■2mb.,ye' '"•'], N., — 1 mcos,mxl(2a,-i- rt.)e"'' + (2^, -t- h.^)e'"'^ — ■iniaoye'"^ — imb.^ye'"'^\, T =^1— m si\M}ix\(2.a, — a.,)e"'^ -+- (ib^ — b^)e~"'> — ^.ma.^ye'"- -{- imb..ye~"'''\,
en donnant à m les valeurs -'-- , i étant égal aux nombres entiers successifs.
» On détermine a,,a.^, b, , />, de façon que la valeur de Nj soit identique, pour j =r + A et j = — h, aux séries de Fourier représentant, l'une la charge sur la face sujjéricure, l'autre la réaction des appuis sur la face inférieure, calculée en supposant que la longueur de chacun de ces appuis
soit é^ale à -•
» En faisant les calculs pour une charge uniforme et une charge centrale, j'ai démontré que, pour une hauteur de poutre égale ou inférieure au -~ de la longueur, les résultats différaient très peu de ceux donnés par la théorie ordinaire de la résistance des matériaux, dans laquelle on admet que les efforts N, sont répartis dans une section verticale, suivant la loi dite du trapèze.
» Il n'en est plus ainsi pour les poutres de grande hauteur. Considérons, par exemple, le cas d'une charge uniforme p. Ou trouve alors pour la face supérieure r == -h h, en désignant par E et C les fonctions dites cosinus et
(') Tlièse de doctoral : Sur dinars cas de la flexion des prismes rectangles;
( 4o3 ) sinus hyperboliques,
lospsinm a
N, — f --Icosmx Y^, — -, 5 — ~ Cimh;
quand /i croit, tous les termes de cette série tendent rapidement vers zéro ; en faisant le calcul, on reconnaît qu'à partir de // ^ a ils sont pratiquement négligeables, et que N, se réduit alors à ~- » Pour la face inférieure r = — /« on a
N, := Vr — - cosw.r
! sp sin ni
E^m h ^Sni- h- — i
nm E^nih — 8m- /i- — i
r /■ , Ea w/( -4- 8 W-/i- — 1 1 1 . -1 1
» Le lacteur =-7 — ; 3 — ;-=-; se rapproche de i très rapidement, quand
E4/h/( — Sm-/i- — I rr I > 1
h croît, et n'en diffère pas pratiquement à partir de // = a. N, tend donc
rapidement vers la valeur
-"; — i isp sinwi a
-rz — zco^mx-
ain
série qui représente, de .37 ;= o à a- = a — ; — » une valeur constante égale à — ^' et, dea; = rt à «, une valeur constante égale à /w — ^> soit, poiu-
» On reconnaît ainsi que, à partir de h ^ a, les valeurs de N, varient, de la face supérieure à la face inférieure, au milieu de la poutre du simple au double, à l'encastrement de i à 9,33 pour 5 = 10.
» D'autre part, à partir d'une certaine valeur de h, les efforts deviennent indépendants de la hauteur et l'on n'augmente pas la résistance de la poutre en augmentant sa hauteur.
» 'L'Afig. I représente les courbes des valeurs de N, dans la section ver-
Fii;. I.
Charge uniforme, .r =; o.
ticale médiane successivement pour /»==-,/;= ■ /< = a.
» La fig. 2 représente les mêmes courbes pour la section d'encastrement. M Dans le cas d'une charge centrale on arrive à des résultats analogues,
Charge uniforme, x = a.
représentés par la fig. 3, qui s'applique indistinctement au milieu ou à l'extrémité de la poutre.
Charge centrale, J
» Il résulte de là que, dans les cas considérés, la loi dite du trapèze est en désaccord, à partir d'une certaine hauteur de poutre, avec la théorie mathématique de l'Elasticité. »
PHOTOMÉTRIE. — Etude expérimentale de t' éclat des projecteurs de lumière. Note de MM. A. Blondel et J. Rey, présentée par M. A. Cornu.
« Dans un précédent Mémoire ('), l'un de nous a indiqué, pour l'étude des appareils optiques industriels, une méthode générale qui la ramène à la détermination de l'éclat apparent en chaque point de la surface optique par laquelle sortent les rayons. Cette surface est considérée comme une véritable source secondaire de lumière dont l'éclat apparent, c'est-à-dire l'intensité lumineuse par unité de surface mesurée généralement dans la direction de l'axe optique, est une fonction des coordonnées qu'on peut
(') Théorie des projecteurs, par A. Blondel; Paris, 1894 (Laliure); voir pages 27 et suivantes.
( 4o5 ) écrire sous la forme E = kui, en appelant i l'éclat de la source de lumière, ^- et u deux coefficients, l'un de transmission, Vmuire d'effet optique, qu'on peut calculer pour chaque appareil.
» Ces calculs ont montré que, jiour les projecteurs dioptriques (lentilles de Fresnel), les coefficients k et u diminuent du centre au bord de l'appareil et que, par suite, l'éclat apparent va en s'abaissant assez rapidement, tandis que pour les projecteurs à réflexion (réflecteurs métalliques, miroirs paraboliques en verre mince, anneaux catadioptriques) cet éclat est constant sur toute la surface. Les projecteurs Mangin se prêtent moins facilement au calcul ; mais nous avons pu montrer cependant que leurs coefficients k et u varient en sens inverse et assez faiblement pour que l'éclat apparent dans la direction de l'axe optique puisse être considéré comme sensiblement uniforme sur toute la surface en dehors de la zone centrale occultée par le charbon négatif.
» Nous nous sommes proposé de vérifier cette conclusion expérimentalement par les méthodes photométriques dont nous avions indiqué le principe('). Celles-ci consistaient, soit dans la photographie des appareilsà grande distance, soit dans l'emploi du microphotomètre de JM. Cornu, ou de photomètres analogues, soit dans la mesure de l'éclairement produit sur un écran par un petit élément de surface, isolé au point considéré, le reste de l'appareil étant masqué.
)) Cette dernière méthode s'est montrée la plus simple en pratique; mais tandis que, pour les appareils dioptriques, il suffisait d'applicjuer sur la surface d'émission un écran opaque percé de petits trous, il a fallu pour les miroirs, par suite de la position de la lampe en avant de la surface, modifier cette disposition en plaçant, comme M. Rey en a eu l'idée, l'écran à une certaine distance en avant du projecteur, à la place de la porte vitrée qui ferme ordinairement l'appareil. Cet écran G {Jig. i) est formé d'un disque en tôle percé de trous de 5°"" de diamètre en mince paroi, répartis régulièrement le long d'un on plusieurs ravons.
» Chaque trou T, lorsqu'on le débouche, produit sur un écran d'observation D, placé à une certaine distance et perpendiculaire à l'axe OX, une image M de la source lumineuse O (ici le cratère de l'arc électrique, dont la forme varie naturellement suivant la position du trou). Nous avons l'honneur de mettre sous les yeux de l'Académie une photographie qui montre l'aspect des taches ainsi produites par des trous disposés suivant deux rayons horizontaux et un vertical, dans le cas d'un projecteur parabo-
(') Loc. cit., p. 17.
( loÔ )
lique de i"' de diamètre éclairé par une lampe de -5 ampères à cliarhons horizontaux.
» Si, au centre optique m de la tache M produite par un trou quelconque T, on remplace l'écran d'observation par l'écran même d'un photomètre, on obtient une
Fig.
mesure de l'éclairemenl E produit par le trou correspondant, et l'on peut en déduire l'éclat apparent 2 du miroir sur la plage M' découpée sur la surface du miroir par le cône avant pour sommet m et pour base le trou T; on a, en efTet, immédiatement la relation
/ étant la distance du photomètre au trou, s la surface de celui-ci. Il est facile de placer l'écran du photomètre à une dislance suffisamment grande relativement à la dimension du trou pour que l'éclat, ainsi mesuré, ne diffère pas sensiblement de celui qu'on obtiendrait si le trou était sur la surface optique elle-même.
» Il n'en est pas de même des divergences des pinceaux lumineux issus de trous, lesquelles diffèrent complètement des divergences vraies mesurées à la surface de l'appareil; par exemple, en appelant d le diamèti'e de la tache M, la divergence cor-
''^ . et l" .
respondanle du pinceau issu de m est, non pas -j-'> ma>s T 7; ' ^n appelant / et / les
distances du trou au miroir et à la source O, suivant la marche des ravons.
)) Nous avons fait de cette méthode l'objet d'une série très étendue d'expériences, à partir de novembre i8g4. dans les ateliers de MM. Sautter, Ilarlé et C'". Ces expériences, conduites par M. Rev, ont porté sur des projecteurs paraboliques et surtout sur des projecteurs Mangin. L'épure annexée à la présente Note est un des ineilleurs spécimens des répartitions d'éclat obtenues pour l'un de ces derniers (projecteur Mangin à court foyer de o""", 60 de dianfiètre, expérience du 6 décembre 1894); l'écran portait, suivant un ravon, 20 trous de 5™" de diamètre, donnant l'éclat
( ^on )
d'autant de zones de 3o™'" de largeur, dont les surfaces sont indiquées audessous des trous. Le photomètre était placé à Bo™.
» Cette é])iire montre que l'éclat reste bien sensiblement cojistant, saut à l'extrême bord du miroir et dans la zone centrale du projecteur où le charbon négatif produit une occultation totale ou partielle.
» Connaissant par cette épure la valeur de l'éclat moyen applicable à chaque zone circulaire et la surface, on en déduit l'intensité lumineuse totale de cette zone ; la somme de ces intensités élémentaires donne, suivant la définition de ]\I. Bnurdelles, la puissance lumineuse totale de l'appareil à grande distance. Dans l'exemple précédent, elle atteint 55719000 bougies décimales. Cette puissance est ainsi connue avec une grande précision sans sortir du laboratoire; elle est rendue particulièrement commode dans le cas des miroirs Mangin par la grande perfection de la taille sphérique des surfaces, qui permet d'obtenir sur l'écran d'observation d'excellentes images du cratère. »
OPTIQUE. — Etude de quelques radiations par la spectroscopie interférentieUe. >'ote de yiM. A. Perot et Ch. Fabhv, présentée par Isl. A. Cornu.
K Nous avons appliqué notre méthode de spectroscopie interférentieUe à l'étude de quelques radiations émises par des vapeurs métalliques portées à l'incandescence par la décharge d'une bobine d'induction. Ces radiations ont déjà été examinées par M. Micbelson. Nous avons employé soit le dispositif de ce savant (tube à électrodes annulaires), soit celui que M. Hamv a indiqué pour l'illumination des vapeurs de cadmium (tube sans électrodes avec partie rétrécie).
» Lorsque le spectre de la source lumineuse contient plusieurs raies, la lumière doit être préalablement analysée au moyen d'un prisme, pour séparer et analyser séparément les diverses radiations ; à cause de la petitesse de la source lumineuse, l'emploi d'une fente n'est pas nécessaire : le point lumineux est placé au fover d'une lentille, et le faisceau, rendu parallèle, traverse un prisme à sulfure de carbone, puis une seconde lentille qui projette sur la lame d'acier celle des images du tube qui correspond à la radiation que l'on veut étudier.
» L'expérience consiste alors à examiner l'aspect des anneaux d'interférence, en écartant progressivement les deux glaces argentées. Si, par exemple, la radiation examinée est double, on voit, pour un certain écar-
tement des surfaces, chaque anneau se dédoubler. Celle des deux radiations dont la longueur d'onde est la plus grande donne, dans ce doublet, l'anneau intérieur. L'appareil permet une mesure exacte de la différence des deux longueurs d'onde : on fera croître la distance des surfaces argentées jusqu'à ce que les anneaux de l'un des systèmes soient exactement intercalés entre ceux de l'autre. Soient alors e la distance des surfaces, et lell-i-M les valeurs très voisines des deux longueurs d'onde. A l'une des radiations correspond la frange d'ordrepet, à l'autre, la frange d'ordre
y + -,. On a donc
(p -h ^)'k =p{l -^ M) = le; d'où
