A = B=— 4AC - 4DE

est un carré parfait, A — n-, les fonctions thêta considérées se réduisent aux fonctions thêta elliptiques.

» Pour étudier j)lus commodément le cas général, on ramène, par une transformation du premier ordre, l'équation (i) à une forme plus simple.

» On établit d'abord que l'on peut faire disparaître les coefficients D etE; il reste

(^2) A</. -t- B/> H- Ce = o.

» On peut remplacer cette équation par une équation de même forme

A'« -\-Wb 4- Ce — o.

( 395 ) A , B', C étant tels que la forme A'a;- — B'oy -+- C'y- soit équivalente à la forme Ax- — Ba-/ 4- C >'■. Enfin, on peut faire en sorte que A divise C. En appliquant successivement ces transfoi-mations, on arrive à mettre l'équation (2) sous la forme simple (3) a — ';-.b -T- yc = o,

^ étant égal à o ou i, selon que A est de la forme !\h ou 4/' -t- i; on a, de

plus,

la quantité A est un invariant pour toutes les transformations du premier ordre.

» Cela posé, désignons les périodes, afin de simplifier les écritures, par

la relation (3) avant lieu entre a, b, c. On démontre qu'il existe des fonctions entières, o(h, v), qui ne sont pas le produit d'une exponentielle par une fonction thêta aux périodes (4), vérifiant les rehitions

[ o(// -r- 1-i, v) == ?(«. V + 2-«) ^ ?(«. *'). (5) o(«-t-a, i'-(-è) = e'"+*Tf''9(i/. f),

/et X- étant deux entiers quelconques. Toutefois certaines inégalités doivent être satisfaites.

» D'abord, pour qu'il existe des fonctions thêta aux périodes (4), il faut et il suffit que a c' — b'-^o, en appelant a', b', c' les parties réelles de a, b, c; on en conclut, en tenant compte de (3),

c'est-à-dire A ^ o.

M Supposons a' (et par suite c') positif; on démontre que les tonciions définies par (5 ) ne peuvent exister que si

/- — ,âZ/ -r- --k' ^ o.

De plus, si k > o, il faut que

■2I— :iX:>X-\Â; si X <; o, il faut que

2/— ;iX-> - XsA.

( 396 ) » Enfin, le cas de /■ = o donne, d'après (5), des fonctions 0 ordinaires, et />■ G.

» Les tbnclioDs o, définies par (5), sont des fonctions linéaires et homogènes de {P— ^kl-^ yk'-) d'entre elles; deux fonctions ç et cp', correspondant aux entiers / et k, l' et k' , ont un nombre de zéros communs éefal à

2 //' - p ( ki + k t) -t- ykk' .

» Tous ces résultats s'interprètent géométriquement sur les surfaces hyperelliptiques ou sur la surface de Kummer : ces surfaces, lorsqu'on suppose vérifiée la relation (3), admettent des courbes algébriques qui n'existent pas dans le cas général.

» La forme /- — [i/t/+ y^"' peut être égale à + r pour d'autres systèmes de valeurs que /■ = o, /= i : soit /,, k, un de ces systèmes; la transformation

U = l,u -f X',yi',

fait correspondre à un point (u, ^) de la surface de Rummer un, et un seul, point (U,V) de la même surface, et réciproquement : de là des transformations birationnelles de la surface en elle-même, qui n'ont pas lieu dans le cas général. L'élude de ces transformations revient ainsi à la résolution en nombres entiers de l'équalion

(6) /=- (îi(7-t- Yi(--= I,

qui se ramène immédiatement à l'équation de Pell ; elle a donc une infinité de solutions.

)) L'étude des courbes unicursales particulières qu'on peut tracer sur les surfaces de Rummer dérivées de périodes vérifiant (3) permet de former la relation correspondante entre les modules des intégrales hyperelliptiques correspondantes.

M (''est ainsi que, dans le cas le plus simple (non elliptique), celui de A = 5, on trouve qu'il existe sur la surface une cubique gauche passant par six points doubles connus, et réciproquement. En exprimant cette

condition, on trouve que le radical v^.r(i — '^)(i — '^'^')( i " [■'•^')(' ~ '^'^') conduit à des |)ériodes vérifiant la relation

V([^--}.)Ca-v)u^. — •)+ vVH'^- 'X^- ') + ^\Ki'-- 0(^ ~ ')■■

( 397 ) » Ce sujet se rattache à ce qu'on pourrait appeler la multiplication complexe des fonctions abéliennes, bien que les multiplicateurs auxquels on est conduit soient réels. »

XOMOGRAPHIE. — Sur la méthode nomo graphique la plus générale résultant de la position relative de deux plans superposés. Note de M. Maurice d'Ocagxe.

« 1. Un point appartenant à un certain ensemble d'éléments géométriques pris sur un plan est à'ilsans cote, à une cote ou à deux cotes, suivant qu'il ne fait pas partie d'un système, qu'il appartient à un svstème simplement infini (points cotés distribués sur une courbe), ou qu'il appartient à un système doublement infini (points d'un réseau définis par les cotes des deux courbes qui s'v croisent ).

» Une courbe est dite de même sans cote, à une cote ou à deux cotes, suivant qu'elle ne fait pas partie d'un système, ou qu'elle appartient à un système simplement infini ordinaire, ou qu'elle appartient à un système simplement infini tracé sur uu réseau, dit réseau de cotes, les deux cotes de chaque courbe pouvant être celles de l'un quelconque des points du réseau situés sur cette courbe.

» Lorsque nous parlerons d'un élément sans cote, à une cote ou à deux cotes, il sera entendu que cet élément pourra être, suivant le cas, un point ou une courbe.

» Pour spécifier que l'élément E est sans cote, à une cote ou à deux cotes, nous emploierons la notation Eo, Ei, E2. S'il s'agit spécialement d'un point ou d'une courbe, nous remplacerons la lettre E par la lettre P ou C. Un point à l'infini dans une direction déterminée sera désigné par P^.

1) Si les courbes C,, C»,... sont des cercles concentrujues , nous les représenterons par r,, Fo,... ; si ce sont des àxo\\.&^ parallèles , par A,, A,,

11 Deux éléments E et E' sont dits en contact s'ils sont tangents lorsqu'il s'agit de deux courbes, si l'un est situé sur l'autre lorsqu'il s'agit d'un point et d'une courbe. Remarquons que la coïncidence de deux points équivaut il deux contacts, deux des courbes passant par l'un de ces points devant être en contact avec l'autre point.

M Nous exprimerons le contact des éléments E et E' par la notation

EhhE'.

» 2. Grâce à ces définitions la méthode nomographique la plus générale

■ ( 398 ) résultant de la position relative de deux plans superposés (dont, en pratique, un opaque et un transparent) peut être réduite au principe suivant : » La position relative des plans superposés H et W portant respectivement les éléments Ei et E- est complètement définie par trois contacts tels (/?/e E, »-iE,,

EjiiE!,, E31-1E3.

M Si dans cette position relative se produit en outre le contact E,i-h E',^, les cotes de ces huit éléments satisfont à une certaine équation dont on a ainsi la représentation.

» Si donc on suppose, pour la plus complète généralité, que chacun des huit éléments est à deux cotes, on voit que l'abaque le plus général résultant de l'application de ce principe peut être représenté schématiquement par la notation

(1) E,2'-iE',2, E.2»-iE.,2, E;|2>-iE',2, E42i-'E',,2.

)) Chaque contact s'exprime par une équation entre les quatre cotes correspondantes et les trois paramètres servant à définir la position relative des deux plans. L'élimination de ces trois paramètres entre les quatre équations ainsi obtenues fournit, entre les seize cotes, l'équation ilont on a la représentation. Une simple lecture fournit alors la valeur résultant de cette équation pour l'une d'elles, lorsqu'on se donne les valeurs des quinze autres.

» A litre de variante, on peut remarquer que, si l'on réalise la position respectiA'e des deux plans au moyen des trois premiers contacts, le réseau de cotes de l'élément E'^ peut êlre pris sur le plan P. Dans ce cas, nous emploierons la notation E'^(2).

» Si les éléments E' sont des cercles concentriques r', comprenant comme cas particulier des droites parallèles A', et pouvant d'ailleurs venir en coïncidence, la position relative des deux plans n'est déterminée qu'à une rotation ou à une translation près. Il suffit dès lors de deux contacts pour la définir. Pour l'uniformité, nous représenterons alors l'abaque par la notation

E|2i-Hr'^2, Eo2i-'r.', 2, E.j2 tiTli, »*-i ».

» Ici encore r!, 2 pourra être remplacé par r3(2).

» 3. C'est en spécialisant plus ou moins la nature des éléments E, et E), et en remplaçant plusieurs des cotes par des constantes qu'on peut déduire de ce principe général des méthodes p;'"'iculières. En voici des exemples empruntés à des travaux connus :

n 1° Méthode de M. Lafav (') :

P,T«C',^., P,2wC;2, P^aiHC^a, P42mC;2.

» 2° Métliode de l'auteur (^) (dont la précédente avait été donnée comme généralisation) :

p,2md;i. p,2wd;i, P32i-.c;,2, Pi^wC.a.

>i 3° Méthode dite des abaques he.ras^onaii.r. de M. Lallemand {^) :

p,2'-<d;o, p.,2>-id:,o, Ps^^d^, p«o>-id;o.

i> Les droites D', , D'^ et D3 sont les diagonales d'un liexagone régulier. >) 4° Méthode dite des points isoplèthes (') :

P,2l-lA', 0, Po2l-li', O, P..,2Mi'|0, l>wn.

1) 5° Méthode dite du transparent à parallèles, de M. Beghin {') :

P,ii-iA', G, Pjii-iA', 0, P3TmA2{i), niH». I' 6° Métliode dite des transversales quelconques, de M. Goedseels {'•)■

PiiwC.o, p,iwc;o, p,i>hC;(o), p^imC.o.

;) 7° Procédé Siégler, pour la mesure des profils de terrassements (") :

p,iwd; G, p.,ih.d;o, Pjuid; ô, P3I)-id;o.

n 8° Procédé Willotte pour le même objet (') :

p,owd;i, p^qmd; I, p,owd;o, c,iwd;i.

i> 9° Règle à calcul :

P,i-iD',o, P.omD;o, P, imD,;o, P^i-hD;:.

P, et P, sont les points lus sur l'échelle de la réglette fixe, P, le point de cette réglette à l'infini sur une perpendiculaire à la direction de cette échelle, D', la perpendiculaire au bord de la réglette mobile menée par son origine, Dô le bord de cette réglette qui glisse le long de la réglette fixe, D3 la perpendiculaire à ce bord menée par le point lu sur l'échelle de la réglette mobile.

{')' Comptes rendus, t. CXIX, p. iigS (24 décembre 1894). ( ■) Ibid.. t. CXVII, p. 216 et 277 (24 et 3 1 juillet 1893). ( ') Ibid., t. Cil, p. 816 (5 avril 1886).

(') Annalesdes Ponts et Chaussées (novembre t884), P- 53i ; Génie civil, t. XVII, p. 343 (1890); Comptes rendus, t. CXII, p. 421 (23 février 1891). {") Génie civil (24 décembre 1892).

(') Communication faite tout récemment à la Société scientifique de Bruxelles. (") Annales des Ponts et Chaussées, i""' sem. 1881, p. 98. (') Annales des Ponts et Cliaussées. 2= semestre 1880, p. 3o3.

( \oo )

» Nous nous bornerons à ces quelques exemples, nous réservant de développer ailleurs le sujet. »

MÉCANIQUE APPLIQUÉE. — Sur les déformations permanentes et la rupture des métaux. (') Note de M. G. -A. Faurie, présentée par M. Sebert.

« Lorsqu'on essaie à la traction une cprouvette d'un métal malléable, outre les faits généralement observés et souvent décrits qui précèdent le maximum de la charge, il se produit parfois un phénomène spécial qui fait paraître le mécanisme intime de la déformation, et qui montre, a priori, que la loi fondamentale de l'écrouissage doit être une fonction, non pas de

la simple longueur (L), mais d'une fraction constante f -'' j de celte longueur. On constate en effet, dans certaines conditions, la production tout le long de l'éprouvettc de nœuds et de ventres équidistants, assez peu distincts d'ordinaire, mais parfois aussi très fortement accentués. Ces nodalités se produisent dans les fds, tiges ou lamelles lorsque la longueur est d'environ 5o à 60 fois la plus petite dimension transversale. Elles sont certainement dues à l'interférence de l'action de la charge qui agit à l'extrémité inférieure, avec la réaction qui agit à l'autre extrémité.

» Ce phénomène n'est donc qu'une traduction nouvelle de la façon dont l'énergie se répartit entre les points d'attache, et par suite offre avec le phénomène des vibrations des tiges encastrées des points de comparaison qu'il sera sans doute possible de mettre en lumière.

)) Lorsqu'on opère sur des éprouveltes de trop faible section, il est difficile de se mettre suffisamment à l'abri des causes d'erreur tenant à l'irrégularité des recuits, irrégularités qui prennent dans ce cas une très grande importance, à cause de l'influence exagérée des actions superficielles dues à l'oxydation. Avec des précautions normales, des éprouvettes en laiton de jgmœci ^g section et de 200™™ de longueur utile entre les repères donnent de bons résultats; on obtient également des nodalilés très nettes en opérant avec soin sur des fils de cuivre de 3°"" de diamètre et de 200™'" de longueur utile entre les repères. On se placerait dans les conditions les plus favorables en employant une tige en laiton de 1 5o™™'' et de i™ de longueur.

(') Voir mes diflFérenles Commuuications antérieure?, Comptes rendus, t. CXIII, CXX, CXXI, GXXIV.

( 4oi )

Dans ce cas la traction doit être donnée au banc d'étirage, et l'évaluation des charges de déformation peut être faite en interposant des éprouvettes préalablement tarées entre la barre en expérience et les mordaches du banc.

« Le phénomène des nodalilés se produit encore normalement lorsque, après avoir écroui des éprouvettes et les avoir recuites une première fois, on leur fait subira nouveau plusieurs passes de traction et plusieurs chaudes. Dans ce cas |)articulier l'expérience présente diverses circonstances mtéressantes. Supposons, pour préciser les idées, que l'essai soit effectué sur un barreau en cuivre pur. Le barreau, ayant subi un recuit complet et intégral, commence à se déformer sous une charge de 5*^= par millimètre carré. On continue à l'allonger en augmentant la charge jusqu'à ce qu'elle atteigne une valeur légèrement inférieure à 22""=. Alors on arrête l'essai et l'on donne un recuit complet et intégral par une chaude appropriée. La température de la chaude doit s'élever jusqu'à 5oo° pour produire sur l'écrouissage un effet pouvant subsister après le retour du barreau à la température ambiante.

» Après le recuit, on donne un nouvel écrouissage de traction. De nouveau la déformation commence à la charge de 5*^= par millimètre carré, continue au fur et à mesure que la charge augmente, et atteint comme précédemment la limite des allongements proportionnels pour une charge légèrement inférieure à 22^^. L'écrouissage acquis nécessite une deuxième chaude que l'on donne comme il vient d'être dit. On procède ainsi par tractions et recuits successifs, et chaque fois les charges varient de 5^^ à ai""^, 5 ou 2i''s^- pap millimètre carré. Chaque fois l'allongement est de 3o à 33 pour 100 de la longueur de l'éprouvette recuite. Le nombre d'opérations possibles n'a pour limite que 1 importance des malfaçons dues à l'inexpérience des ouvriers ou au manque d'homogénéité du métal. Le phénomène des nodalités se présente dans ces conditions dès la deuxième passe ou la troisième au plus tard: l'éprouvette se creuse en un certain nombre de collets équidistants séparés par des renflements également équidistants. Aux passes suivantes la déformation commence généralement à la même dépression et s'étend, au fur et à mesure que l'allongement se produit, aux dépressions voisines.

» Je dois remarquer dès maintenant que, ni dans la déformation de laminage, ni dans la déformation de torsion, on ne peut constater rien d'analogue au .phénomène que je viens de décrire ; on doit en conclure que ce phénomène est bien dû, comme je l'ai dit, à une action d'interférence.»