V-O ='^a -î-'":.G — '^oH

/.' o- -^ v./i = r/, -f- f/j FI -

aA -

svstènies (G, H, G' ) tels qu'une foncliou abélienne quelconque, F(U, V ), formée avec ces nouvelles périodes s'exprime rationnellement a l'aide des fonctions abéliennes du système primitif, /(w, v).

» Il est clair d'abord que l", V doivent être linéaires en ii, v :

il faut et il suffit ensuite que, si l'on augmente a et f d'une de leurs périodes, U et "N' augmentent aussi d'une de leurs périodes, ce qui donne, en désignant par a,, 6,, c,, r/,, des entiers, les relations

J/éliminalion de )., a, à , ;a', G, H, G' conduit à l'équation

(yr — gg')[(ba)o:,^{ba),,]-^g[(ca)„,^(ca),,\

— g\{ b(/)„., -^- (7;^/ ),, j ^ /, \{rb \,,, - ( a,/)„,, -i-(cb),,-^- (aii),.:]

-^l(clc%, + (dc),,]-'n [où {ba )ij = bjUj — bja,\.

» Si g, h, g' sont pris au hasard, les coefficients de h- — gg , g, g' , heiXe terme constant doivent être nuls : c'est l'hvpothèse qu'a faite ]M. Hermite et dont il a déduit la théorie ordinaire de la transformation. Mais si g, h, i;' et h- — gg sont liés par une relation linéaire à coefficients entiers, il existera d'autres transformations singulicres que celles habituelles.

i> La relation supposée entre les périodes peut se ramener, comme je l'ai déjà indiqué, à la forme

y. g ^-'ph — •■g' = o avec /' — î y" > o,

a, [i, y étant entiers (on peut même admettre a = i et 3 = o ou i). Les valeurs de G, H, G' et celles de a, X, u., u.' sont alors données par les relations (2), où les a, b, c, d sont des entiers liés uniquement par les relations

[ {ba)a, + (ba)^.. = o.

(dc):,+(dc),,

(5) ) ^ (ca)„,+(ca),,

, = aX-,

(bd\,,-h{bd),,

(cè)„., -+ (arf)o3 + (cb),.. -h {ad).

i étant un entier arbitraire.

c. I'.., 1S98. î" Semestre. (T. CXWI, N" 11.)

» Soit 5(U,"\') une fonction thêta du premier ordre aux périodes (G, H, G'); par l'intermédiaire de(i), c'est une fonction de u, c; o{u,v). Désignons par i(w, c) le produit de ç par une exponentielle e'', où P est un polynôme du second ordre en u, r, convenablement choisi; on trouve que i vérifie les équations

I ■}(« + !,»■) ='l{ll,i- -i-l) — ■l(u,i'),

cela, en tenant compte de (3) et en posant

n La fonction 6 est donc une de c^îs fonctions intermédiaires singulières que j'ai introduites dans une Note antérieure. Si k =: o, c'est-à-dire dans le cas des transformations ordinaires, 'l(u, c) est une fonction thêta; réciproquement, si une transformation change une fonction thêta en une fonction thêta, k est nul, et la transformation est ordinaire.

» A un svstéme de valeurs (U,V) correspondent/'— ^kl + k- yr/ systèmes de valeurs (non congnients) de m, c; à un système (;/, c) correspond naturellement un seul système U, Y. Le nombre positif l'^ — {ikl + k-y.y, que nous désignerons par S, sera dit l'indice de la transformation singulière considérée; pour une transformation ordinaire, l'indice est le carré de l'ordre.

» Posons maintenant

iSU, = /a + ^-yc, ?iy,r-= --kxu-h-(l- kf.)i>-

j H,= '^(lh-i-k-g') = j[-kxg^(l—k?,)h].

» La fonction i(w, v) devient une fonction 6( U, , V, ), et l'on a

e(U, + i,V,) = 0(lî,,Y, + i) = 0(U,,V,). 0(U, + G,,V,-4-II,) = ^~""''''^™*'-. <^(V , + U ,,Y ,-h G\) =. e-'-"" ''''-"""'■;

c'est-à-dire que ©(U,, V,) est une fonction thêta. D'ailleurs, on établit qu'à un système (L,, V, ) correspond un seul système (u, r). et, par suite.

( «'7 ) un seul système {V, V ) : la transformation qui fait passer de (^L ,, \ , » à (l, V) est donc une transformation ordinaire. Il en résulte qu'une transformation singulière quelconque se ramène à une transformation ordinaire, précédée de la transformation singulière simple définie par (5), et dont l'indice est â.

>' Supposons ^ = 1, c'est-à-dire admettons que / et k soient liés par /' — ^^V-t- X-ay = I , équation qui a une infinité de solutions, si ?• — f^y.•.' n'est pas un carré parfait : deux surfaces hvperelliptiques quelconques (5) et (S|), dont les périodes respectives (g,h,g') et (G,, H,, G,) sont liées par (5), se correspondent alors point par point.

M Ces deux surfaces ont-elles les mêmes modules? D'une manière plus précise, aux périodes ( "•, h, g') correspond une courbe de genre 2 bien définie, (c); aux périodes (G,, H,, G',) correspond une courbe de genre 2. (C,) : a-t-on le droit d'admettre que (c) et (C, ) sont identiques?

» On doit répondre négativement à cette question.

» Ainsi deux surfaces de Kummer peuvent se correspondre point par point, sans êlre transformées homograpbiques l'une de l'autre, c'est-à-dire sans que les six points doubles situés sur une même conique aient les mêmes rapports anharmoniques dans les deux surfaces. Cela revient aussi à dire que deux courbes de genre deux peuvent se correspondre couple de points par couple de points, sans se correspondre point par point. »

PHYSIQUE MATHÉMATIQUE. - De L'énergie d' un système cleclrisé, coiisidérce comme répartie dans le diélectrique. Note de ;\LM. H. Pellat et P. Sa- CERDOTE, présentée par M. Lippmann.

a L'un de nous a montré (^' jque l'excès d'énergie ALj que présente un svslème de conducteurs et de diélectriques enfermés dans une enceinte conductrice, quand il est électrisé à température constante, est non pas

-V/«\ , comme on l'admet habituellement, mais

(') H. Pellat, Delà variation de V énergie dans les transformations isothermes. De l'énergie électrique {Comptes rendus, t. CXXV, p. 699; 1897. Journal de Physique. S" série, l. \ II. p. 18: 1898).

où la charge m de chaque i)arlie doit élre regardée comme indépendante de la température absolue T dans la dérivation. Cette relation suppose que les forces électriques qui s'exercent dans ce système sont contrebalancées par des forces intérieures (rigidité des supports) et, en toute rigueur, que chaque conducteur isolé est homogène.

)) Nous nous proposons de transformer cette relation pour montrer qu'on peut encore considérer cet excès d'énergie AU^ comme ayant son siège dans le diélectrique. Nous bornerons la démonstration au cas où le diélectrique est homogène et isotrope et où les conducteurs ont même dilatation que le diélectrique, de façon que l'élévation de température ne produise ni tiraillement ni comj)ression ; c'est ce qui est réalisé, en particulier, dans les condensateurs où les faces du diélectrique sont métallisées.

» Nous partirons de l'égalité bien connue :

où ':j est l'intensité du champ électrique dans le volume (h du diélectrique dont le pouvoir inducteur spécifique est K, le signe /' s'étendanl à tout le diélectrique.

» Pour avoir le second terme de l'expression (i ), il faut dériver / — ;^

par rajiport à la température eu exj)rimant que la charge électrique de chaque partie reste la même en passant de la température T à la température T -I- r/ï. Or, si cette condition est remplie, la direction du champ en chaque point du système, qui demeure homothétique à lui-même en se dilatant, ne varie pas; en outre nous allons montrer qu'on doit avoir

(3) _____Ko..A.

\ étant le coefficient de dilatation linéaire vrai du diélectrique.

)) En effet, considérons d'abord une surface conductrice qui, sur un élément superficiel t/.*, possède une densité électrique <: et, par conséquent, une charge dm =; ads. En appelant ç l'intensité du champ dans le diélectrique en un point infiniment voisin de ds, on a

[\-dm ^: K'jds.

Exilions les dérivées par rapport à T des deux membres :

, -, à{ds) j r«)(K=) ,- I àids)! ,/s+K'.-^ = d.i ^-^ +ko^. --pj^J.

I d{r/s) ^ 1 f , ,1 rr. • (h (lin) ,

» Comme -, r=r- = 2 A, il laiit el il suiiit pour avoir — r=r- ^= o, c estris- <)T ' (>1

à-ilire pour que la charge électrique sur l'élément, malgré sa dilatation et la variation de K et de o, reste la même, que la relation (3) soit salislaite. » Considérons, en second lieu, une surface fermée S englobant une portion du diélectrique. Evaluons le flux dinduction r/j h ti^ners un élément (le surface ds de S ; on a

( G ) ((/ ^ Is. o ffi cos 7. ,

en désignant par y. l'angle que forme le champ avec la partie de la normale à fis menée vers l'extérieur de S. Egalons les dérivées par rapport à T des deux membres de cette relation, en nous rappelant que x est indépendant de T :

... rody-:.) , .. à\ds)\ j r(}fK'i> ^ I àtâsu

'7.) -TTr- = COS.|^-./.v^ ^?^n--J = '^-^cosx 1^-^ -^Ko^^ -^,-J;

âjdji) OT

si la relation (3) est satisfaite, la quantité entre crochets sera nulle et l'on

aura — yd- ^^ o. Par conséquent, le llux d'induction total / à travers la

surface S, malgré la dilatation de cette surface ella variation de K et de o, ne variera pas; il en sera donc de même de la quantité d'électricité m contenue à son intérieur, d'après la relation y = 4-»2. Ceci restant exact, quelque petit que soit l'espace enfermé dans S, en aucune région la charge électrique ne variera malgré la variation de température.

» Égalons, maintenant, les dérivées par rapport à T des deux membres de la relation (2) :

\ "^rr ~ ôtJ s- ~" ôfj 8- K

» Tenons compte de la relation ( 5) pour obtenir, après multiplication par — T, le second membre de la relation (1 ); il vient, en remarquant que

di- ~àT

( 820 ) d'où, d'après (i) et (2), (10) AU,=J(i+>.T+j^^^^ ç^

)) On voit que l'énergie, par unité de volume, que prend le diélectrique par la charge électrique du système, la température restant la même, est,

Ko' . / . „, T dK\ K ti' . , V , ^ ... ,

non pas -^, mais ( i -h XI -h y 7? )-q~^( }• On retrouve auisi, dans le cas

général, où le diélectrique peut être électrisé et où les conducteurs sont en

nombre quelconque, le même facteur correctif ( t -r- >.T + r -7? ) fl"6 dans

le cas simple du condensateur (- ). »

PHYSIQUE. — Sur la conductihilife éleclriqae des lames minces d'argent et l'épaisseur des couches dites de passage. Note de M. G. Vincent ('), présentée par M, J. Violie.

■' Des recherches sur les lames métalliques minces m'ont conduit à étudier la conductibilité électrique des lames minces d'argent. Je me propose d'indiquer ici les résultats de cette étude sans insister sur le détail d'expériences assez délicates à réaliser et qui seront d'ailleurs exposées autre part.

» I. J'ai choisi l'argent parce que c'est le métal qu'il est le plus facile d'obtenir en couches très minces, homogènes, d'un poli parfait, toujours comparables à elles-mêmes et d'épaisseur facilement mesurable. Les couches à étudier étaient déposées chimiquement, par le procédé Martin, sur des plaques de glace soumises au préalable ;i un lavage minutieux; en employant des liqueurs argentifères de dilutions variées, on obtient telle épaisseur que l'on veut entre ojj. et 20017... Aussitôt après le séchage, les lames argentées étaient soigneusement mises à l'abri de toute émanation pouvant les détériorer. Les mesures étaient faites huit jours après la préparation, mais j'ai vérifié que les précautions prises pouvaient les conserver inaltérées pendant plusieurs semaines.

» IL Avant d'entreprendre les mesures, je me suis assuré que les lames

(') Cette démonstration ne s'appuie pas sur les lois de Coulomb. Mais, puisque celles-ci sont applicables dans le cas d'un diélectrique homogène, comme celui que nous considéions ici, on peut aussi, en s'appuyant sur ces lois et par la simple remarque que la dilatation laisse le système homolhétiqiie à lui-même, arriver facilement à l'expression ci-dessus.

(-) IL Pellat, Journal de Physique {lue. cit.).

{" } Travail fait au laboi'atoiie de Pliysique de l'Êcule Udriiiale siipéiieure.

avaient une résistance définie; je n'ai constaté aucune variation en modifiant beaucoup l'intensité du courant, et les lames se sont montrées insensibles aux chocs.

1) La méthode emplovée pour la mesure des résistances permettait de déterminer, pour deux régions données arbitrairement sur chaque couche, la résistance s, évaluée en ohms, d'un carré ayant i™™ de côté; comme contrôle, les deux valeurs de p devaient être identiques.

« L'épaisseur s de chaque lame était déterminée par la méthode de Wiener (') et contrôlée aux faibles épaisseurs par une méthode rapide dont le principe a été indiqué par Fizeau (-). Ces deux méthodes reposent, on le sait, sur la transformation de l'argent en iodure; c'est l'épaisseur de l'iodure qu'on mesure, et l'on en déduit celle de l'argent par une formule connue. On suppose essentiellement que l'iodure se comporte, au point de vue de la réflexion de la lumière et au voisinage de l'incidence normale, comme un corps transparent ordinaire. Les expériences de Wernicke C ) ont démontré qu'il en est bien ainsi, et l'on peut être sur que les méthodes de Wiener et de Fizeau ne sont entachées d'aucune erreur systématique.

» IIL IjCS limites d'épaisseur entre lesquelles j'ai opéré sont 38 jj. et l'O'j.. J'ai fait deux séries de mesures; elles concordent bien. Li figure

ci-jointe représente les résultats de l'une d'elles. Les abscisses sont les

(') Wied. Ann., Bd. XXXI, p. 63o-64o et 6.59-664; 1887. (') Comptes rendus, t. Cil, p. 274; 1861.

(') Pogg. Ann., Ergbd., t. VIII, p. 70; iS" .— Uonatsbericlite d. Akad.zit Berlin. p. 670 el suivantes; 187 j.

Aaleiirs de l'épaisseur d'argent s, les ordonnées celles de la condiicli-

bililé - • La figure se confond avec une droite à partir de l'épaisseur s = "io y.

environ et au-dessus. Cette droite pjisse au-dessous de l'origine et coupe l'axe des abscisses au point e = 26 ja environ. Pour les épaisseurs moindres que 5o a, la courbe s'abaisse nettement au-dessous de la droite et les ordonnées sont jusqu'à trois fois plus petites que les ordonnées correspondantes de la droite.

» Ces résultats s'interprètent facilement. La fonction -> pour les épaisseurs supérieures à So u., est de la forme — A -t- Bs. Cela implique l'existence d'une couche homogène, laquelle est comprise entre deux couches superficielles de conductibilité moindre au contact de l'air et du verre. Tant que la couche homogène intermédiaire existe, les points figuratifs se placent sur la droite précédente. Ils s'en séparent au contraire dés que ré])aisseur totale de la couche devient égale puis inférieure à la somme des épaisseurs de passage. On peut donc, d'après ces expériences, fixer à ao>j. environ la somme des épaisseurs de passage. C'est à peu prés le nombre obtenu par Quincke dans ses expériences de capillarité ( ' )•

» IV. Une question se pose : les surfaces terminales des dépôts d'argent sont-elles comparables entre elles et, de plus, n"a-t-on pas affaire à des couches plus ou moins trouées ?

" Voici ce qu'a montré l'examen au microscope. Toutes les couches, même les jilus minces qui ne sont plus conductrices, sont absolument continues. En outre, sur la surface, on aperçoit une multitude de petits grains qui se détachent en sombre sur une couche sous-jacenle parfaitement homogène; lesdiamètres et les dislances respectives de ces grains semblent être voisins de i a ou im peu inférieurs. L'aspect de ces grains montre qu'il vaut mieux les considérer comme des ondulations de la surface que comme des grains discrets simplement poses dessus. Ces grains apparaissent identiques à toutes les épaisseurs : on les trouve dans des lames dont l'épaisseur est certainement inférieure à i4[^- et peut-être même à 8;^.; ils sont seulement un peu plus difficiles à apercevoir à cause de leur transparence. On a ainsi une idée de la profondeur des rides qui bossuent la surface des couches car, même pour ces couches très minces, sous ces grains, il y a une couche sous-jacente homogène. Enfin j'ajoute que ces grains subsistent dans la transformation en iodure ; diamètres et distances restent invariables, l'épaisseur seule change. .-

(') Poff^'. \,u,.. Wd. 1:$-; 18C»,

» Comment sonl constituées ces couches à surface bossnée? A-t-on affaire à un véritable corps solide ou à un amas pulvérulent composé de £;rains extrêmement fins indiscernables au microscope? Si la couche est composée d'un amas de petits grains, leurs dimensions ne dépassent sans doute pas i u. ou 2u.. J"ai pu en effet obtenir des dépôts sur verre à peine visibles et dont l'épaisseur était certainement inférieure à celte limite; transformés en iodure, ils donnaient une pellicule montrant par réflexion le noir du premier ordre des anneaux de Newton. Les couches sur lesquelles j'ai opéré, d après ces remarques et la concordance des résultats que j'ai obtenus, me semblent donc d'une constitution bien définie et peuvent être considérées comme un état d'agrégation bien déterminé des particules d'argent.

» y. L'équation de la droite, déduite de la movenne des résultats, est

» Les expériences ont toutes été faites entre 13" et 16'^; on peut tirer de l'équation la valeur qu'aurait, à 0°, la résistance spécifique d'une plaque d'argent assez épaisse pour que l'on puisse négbger l'influence des couches superficielles. On trouve i,45 environ en prenant comme unité la résistance spécifique de l'argent ordinaire recuit (nombre de Matthiessen). Ce résultat n'a rien de surprenant, l'argent sur lequel j'ai opéré n'avant subi aucune des opérations mécaniques auxquelles l'autre a été soumis. »

PHYSIQUE. — Quelques propriétés des déc/targes électriques produites dans un champ magnétique. Assimilation au phénomène de Zeemann. Note de M. AxDRÉ Broca, présentée par ls\. A. Cornu.

« Dans une précédenle Note, j'ai montré que les ravons cathodiques se divisaient en deux partie?, dans un champ magnétique intense : les uns, rayons de première espèce, qui s'enroulent autour des lignes de force, dans le sens du courant excitateur du champ; les autres, ravons de seconde espèce, qui suivent le champ. J'ai poursuivi des expériences de cette nature pour divers degrés de vide. J'ai emplové pour cela des ampoules sphériques de 5"^™ à G'^™ de diamètre, portant deux électrodes, sphériques elles-mêmes, svmétriques par rapport au centre, et à i*^™ ou i*^", 5 de distance l'une de l'autre. Dans ces conditions, pour les degrés de vide peu élevés, on peut