C. B. .s,s, I" Semés re. (T. CXWI, N 11.) '«î

congèle de nouveau en remplissant les vides; la chaleur mise en liberté amène de nouvelles fusions, et le processus se propage vers l'aval. Il n'y a d'abord que clarification de la glace par remplissage des vides, puis formation de véritables couches avec grains orientés, là où a passé et où s'est regelé un courant d'eau suffisant.

» Chaque fusion locale entraîne un abaissement de la masse superposée, un mouvement vertical, qui se transforme en mouvement horizontal quand tous les vides de la glace sont remplis par le regel. Le mouvement horizontal n'est que la suite et la conséquence des mouvements verticaux; mais, si on les mesure en chaque point, le premier dépasse beaucoup le second en amplitude.

» En résumé, si petites que semblent les actions mises en jeu, elles vont toujours en s'ajoutant et finissent par entraîner tout le glacier. Le mouvement commence par les régions profondes et se transmet, en partie par adhérence, aux régions superficielles. C'est l'eau qui sert d'intermédiaire au travail de la pression ; elle le fait en s'écoulant, non pas en libres courants, mais en suintements presque capillaires, et, dans son trajet, elle agit doublement : mécaniquement parla poussée qu'elle transmet, et physiquement par les changements d'état qu'elle subit et qu'elle provoque sur son parcours. Naturellement, pour que le phénomène continue sans interruption, il faut que l'eau puisse s'écouler définitivement après avoir achevé son travail : une pente est. nécessaire près du bord, elle ne l'est pas dans les parties hautes.

11 Cette explication du mouvement des glaciers se rapproche de celle qu'a proposée Thomsen; mais les arguments qu'après Thomsen etlNL Heim on pouvait déjà faire valoir en sa faveur sont maintenant, grâce à M. de Drylgaski, singulièrement plus nombreux et plus précis. La théorie mécanique et thermique en paraît aussi satisfaisante qu'on peut l'attendre pour des questions aussi complexes et je n'hésite pas à dire que le Livre de M. de Drygalski, important pour l'étude du Groenland, marque aussi un progrès de premier ordre dans nos connaissances générales sur l'histoire des glaciers. »

MÉMOIRES PRÉSENTÉS

M. A. Marx adresse la suite de son Mémoire « L'éther, principe universel des forces « .

(Renvoi à la Commission précédemment nommée. )

( 8o9 ) M. Mascart présente, au nom de MM. Auguste et Louis Lumure, une série de photographies sléréoscopiques montrant que les procédés de reproduction des couleurs par Aoie indirecte", indiquée précédemment par les auteurs, ont pris un caractère industriel, grâce à de nouveaux perfectionnements dans l'exécution.

CORRESPONDANCE

jNI. le Secrétaire perpétuel signale, parmi les pièces imprimées de la Correspondance, c \J Aérnphile, Revue mensuelle illustrée de l'Aéronautique et des Sciences qui s'y rattachent; directeurs : i\lM. Georges Besançon et Wilfrid de Fonvielle » .

ARITHMÉTIQUE. — Sur la théorie des nombres prertv.ers. Note de M. H. Laurent, présentée par jM. Poincaré.

« Si l'on désigne par :; un nombre entier, r(=^) + i est divisible par z si s est premier, en vertu du théorème de Wilson. Au contraire, si z est composé, il sera le produit de deux nombres entiers a et P, tous deux inférieurs à 3 — I, si X et ,3 sont différents; ils seront donc facteurs dans r(z ) qui sera divisible par :; = xS. Si l'on ne pouvait pas supposera et p dilfé-

rents, !(-) serait égal à x--. or — ^ est certainement plus grand que a

excepté si ; = 4 ; donc r(c ) est pour z >■ ^ divisible par z, si z est composé.

» Cela posé, si l'on considère la fonction

en supposant ; > 1, pour z entier et composé elle se réduit à zéro ; pour z premier elle se réduit à

donc

p= = TS(Z)

e ' — I se réduit à zéro ou ii i si : est un entier composé ou premier. Donc /( z)

(S,o) désignant une fonction finie pour - > 4, on a

p,, P-,, ■•• désignant Ips nombres premiers compris entre "î et tî. Or, on peut exprimer iCT(n)/(«) an moven d'une intégrale définie en le considérant comme le résidu de

et cela d'une infinité de manières.

« On peut encore calculer lf( pi) ou lrô(n)/(n) d'une autre manière en observant que l'on a, en vertu de la formule de Fourier (en supposant b = a -h m),

iF(a) + r(a + I )-+-... -^ iF(« + ^ - i) + ^F(/>)

= y r F(^)e^*'''^-'"v' 'rt'ï;

remplaçons F(ç) par cj(i)/(;) et supposons a entier et supérieur à /i ; on

p^, /?2, . . . désignant les nombres premiers compris entre a et h (supposés composés).

» La même méthode permet de trouver i/(/j;)en appelant/?',./^!,, ... les nombres premiers compris dans une progression arithmétique à termes entiers, et de vérifier le théorème de Dirichlet sur les progressions aritliméliques.

„ /Y. y?. __ Lorsque l'on fait usage du ciilcul des n'sidus pour calculer l'expression -/(/'/)> f^" P*^"' remplacer la fonction

par la fonction

a \os

OPTIQUE GÉOMÉTRIQUE. — Les invariants intégraux et l'Optique. Note de M. Hadamard, présentée par M. Poincarc.

« Le lliéorème de Malus, cas particulier du théorème de Thomson et Tait sur les trajectoires de la Dynamique, exprime, comme on sait, qu'une certaine équation aux différentielles totales

est invariante pour un système de ravons lumineux dans toute réflexion ou réfraction.

1) Parlant de ce principe et des travaux de AI. Abbe, M. Bruns (') démontre que, si un svslème optique est partout anastigmate, c'est-à-dire fait correspondre à chaque point-objet un point-image unique, la correspondance ainsi réalisée ne peut être qu'une similitude.

)) Il ajoute ( ' ) :

« Ce cas est, par exemple, réalisé dans la réfraction sur une surface plane. A cause de sa simplicité, il n'est pas nécessaire d'en poursuivre plus longuement l'étude, d'autant moins qu'en Optique pratique, dans les formes les plus importantes, à savoir dans les objectifs du microscope, de la chambre noire et de la lunette, comme dans les oculaires, il ne s'agit en aucune façon de produire des représentations géométriquement semblables des corps. »

» Cette assertion ne semble pas devoir être admise sans discussion. S'il est vrai que les instruments dont nous disposons n'ont pas pour effet de grossir les figures en en conservant la forme, il est non moins certain qu'un pareil grossissement, si l'on pouvait l'obtenir, bien loin d'être un résultat sans importance, constituerait la solution la plus satisfaisante possible du problème de la Dioptrique. Il v a donc lieu de se demander si le rapport de similitude de l'image et de l'objet peut être différent de i.

» La réponse est négative, mais elle ne résulte pas du raisonnement de M. Bruns. Cette circonstance n*a pas, en effet, pour cause la seule invariance de l'équation H == o, mais bien le caractère invariant de son premier membre ; c'est ce que montre la théorie des invariants intégraux.

» Parlons, par exemple, du volume (au sens de M. Poincaré, Acla

. (') />aî Eikonal {Aljhandliingnn der Sachs. Gesellscli.. t. XXI; rSgJ). (-1 Dos Eit;nnal, p. 48 (Aljhandl. der Sachs. Gesetlsch.. t. XXI; p. 370I.

math., t. \III). Ce volume est, dans l'exemple actuel, une intégrale sextuple, qu'on réduit aisément (') à une intégrale quintuple, étendue d'une part aux points d'une certaine portion d'espace, d'antre part à un faisceau de ravons (à deux paramètres) issu de chacun de ces points. Cette intégrale conserve sa valeur lorsqu'on remplace les difiérents points-origines par les extrémités de segments portés sur les rayons correspondants et parcourus par la lumière dans un même temps.

» Mais de celte même intégrale on peut (') en déduire une autre qui ne change pas lorsqu'on remplace les points-origines par les extrémités de segments quelconques portés sur les ravons qui en sont issus. Celle-ci est une intégrale quadruple, qui diffère de la précédente en ce que les pointsorigines remplissent, non plus une portion d'espace, mais une portion de surface. De chaque point est, comme précédemment, supposé issu un faisceau de i-ayons remplissant un angle solide déterminé.

» Cette intégrale quadruple fournit la démonstration demandée. Il suffit, à cet effet, de l'étendre, d'une part à un système de points-objets, d'autre part aux points-images correspondants. Les angles solides étant égaux de part et d'autre (en vertu des conclusions établies par M. Bruns), le rapport des deux intégrales est égal au carré du rapport de similitude cherché, lequel est, par conséquent, égal à l'unité.

» Ce qui précède conduit à penser que la théorie des invariants intégraux peut aider à la résolution d'une des questions fondamentales de l'Optique géométrique, posées par M. Bruns dans l'Ouvrage cité :

» Trouver, parmi toutes les correspondances entre espaces réglés, celles qui sont susceptibles d'être obtenues par une série de réfractions. »

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les lois de réciprocité. Note de M. X. Stouff, présentée par M. Darboux.

« Je désire ajouter quelques compléments à la Note présentée sur ce sujet en septembre 1896. Considérons un nombre premier /^( a) formé avec les racines 1''°"=^ de l'unité, et le parallélépipède P dans l'espace £>,, à 7. — i

(') Voir mon Mémoire Sur certaines propriétés des Irajeclnires en Dynamique {Journal de M. Jordan, 5' série, t. IH, p. Sjg-SSo).

(^) Les Méthodes nouvelles de la Mécanique céleste. 1. IV, p. 1-7.

( 8i3 ) dimensions construit sur les grandeurs géométriques

a/(a) oi\f{^) x''--\f(0L)

I — a 1 — a I — ot. '

il engendre le groupe F des substitutions

S[z(y.).yJ'z(y:)-^A-iy:)/{y.)\,

k{x) étant un entier complexe quelconque. De là résulte la division de Ey i en polyèdres congruenls à P que l'on distinguera en polyèdres de classes o, i , 2, ...,"/, — i , suivant la valeur de h dans la substitution S qui Iransforme P dans l'un d'eux. Soit II le parallélépipède homothétique à P par rapport à l'origine des coordonnées avec le rapport d'homothétie X : le

caractère ( 7 - ) est é£;al à

/;, désignant le nombre des points de n dont toutes les coordonnées sont divisibles par ). et qui appartiennent à des polyèdres de i'"""' classe.

)) Le calcul de co parait d'abord impraticable à cause des intersectious compliquées des polyèdres congruents do P et du polyèdre H. ^Maison peut modifier assurément l'expression précédente d'une façon avantageuse.

)i Lo polyèdre II engendre le groupe F des substitutions

groupe contenu dans F. Réunissons des polyèdres du réseau de 1^ de manière que l'ensemble forme un polyèdre II, générateur de T'. On pourra choisir II,, de telle sorte que ses limites, limites conjuguées deux à deux comme celles de n, puissent se réduire à celles de II par une déformation continue. Soit «Ji, la multiplicité-limite de II qui se transforme en sa conjuguée par multiplication par a', et R, la région engendrée par <I>, lorsqu'elle se déforme de manière à devenir une limite de n,. On doit envisager uue suite continue de polvèdres formant la transition entre n et H,.

)) Soit [j. = -~— . et soient /?«,, ni^. ..., /n^, les nombres de points à

coordonnées divisibles par X situés dans les régions R,, Rj, . • ., Rjj.. Soit o», la somme analogue à w relative au polyèdre II,, et

to'i = m, -h irn^ + . . . -4- u.m^, on a

0^0), + c/. . mod>..

» Par conséquent, le calcul de co esl bien simplifié, puisqu'on n'a plus à s'occuper de l'enchevélrement des faces des polvèdres. Mais on peut aller plus loin. Si l'on construit une ligne biisée ou courbe joignant l'origine

au point ^ — > et si l'on transforme cette ligne par midtiplication par

a., a', .... a'~', les lignes ainsi obtenues pourront manifestement servir à construire un parallélépipède P' analogue à P, engendrant le groufjc F, et à faces brisées ou courbes. On démontre que, si l'on transforme H' et H', de la manière con-espondante, en même temps que P, et si l'on ajoute les quantités w, et m\ relatives à la nouvelle figure, to ne change pas. Dès lors, on peut faire en sorte que les limites de P', H' et des régions R, se composent de multiplicités-limites parallèles aux plans coordonnés, en adjoignant aux direclions a, a^, ..., a'~' des axes-coordonnées la direction auxiliaire i. L'évaluation du nombre des points à coordonnées divisibles par A dans les divers polyèdres est alors facile.

» On en conclut que, si les coeflicients dedeux nombres premiers y^(x),

0(7.') sont congrus modA'', les caractères -r^- , — — sont é"aux. On jieut même aller plus loin. Soit

si pour deux nombres |)remiersy(a), cp(a) les valeurs de s sont congrues modîv', les coefficients ai n'étant astreints eux-mêmes qu'à être congrus mod>.-, les deux caractères sont ésaux. » .

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur la transJui:nation des fonctions abcliennes. Note de M. G. Humbekt, présentée par M. Poincaré.

« Nous dirons, |)our abréger, qu'une fonction abéliennc de deux variables a pour périodes {g, h, g') si le Tableau normal des périodes est

en désignant par g,, //,, g\ les parties imaginaires de g, h, g', nous supposerons g^ g\ — li\ > o et gf , et g\ > o.

» Etant donné un système de périodes (g, /i, g'), le problème de la transformation, posé et résolu par M. llermite, consiste à trouver tous les

A 3:r ff „ 4- a, G -

i-rtoG'.

Ig -h [jJi = r/„ — f/jG -

f^rfjl.