C. 11., iV. i" Semestri:. (T. CXWl, N» 12.J I
(le o'". jo nvcc un objoclit à quatre verres et à un grand cliamp. nn seul prisme (]e 60°, et une lunetlede i™avec un objectif à deux verres. La fente du collimateur et lespectrograj^he tout entier se meuvent devant une image fixe du Soleil fournie par un objectif de o'",i2 et de 3™ de distance focale, pendant que la plaque |ihotograp]iique. placée derrière la seconde fente, a un mouvement relatif proportionnel.
» L'image de la chromosplière a un diamètre de 5o"™: obtenue avec une pose relativement courte, elle se distingue par sa netteté et son éclat des images similaires obtenues en Amérique et en Angleterre. Elle a montré couramment, en 1893 et i8f)4. de petits maxima de lumière (appelés flammes faculaires dans les Notes précédentes), non seulement dans la zone des taches, mais dans la région des p(jlcs, qui en était privée sur les épreuves faites au même moment à l'étranger. Ces petits maxima forment sur le disque entier une sorte de réseau que j'appelle re'seau chromosp/iérrqiie.
)< I^a photographie de la chromosphère a été poursuivie sans interruption pendant les années suivantes, car elle se rattache à une question actuellement très importante : à l'extension des variations périodiques des taches solaires aux autres parties du Soleil.
)) Les variations des taches sont suivies, comme on sait, avec un retard plus ou moins grand, ]>ar les facules du disque d'une part, par les protubérances et les rayons coronaux de l'atmosphère solaire, d'autre part. S'étendent-elles aussi, et dans quelle proportion, aux plages brillantes de la chromosphère qui sont placées entre les facules et la couronne, et n'ont p;ts encore été étudiées? Il convient de combler cette lacune pour le disque entier et surtout pour la région des pôles, particulièrement intéressante par les grands changements des facules et de la couronne.
» Les premières épreuves de la chromosphère ont été faites dans les années i8g3 et 189'!, qui correspondent à un maximimi de taches; depuis, les taches ont sensiblement diminué ainsi que les jjrotubérances (') et les
(') Je m'appuie en particulier sur les relevés de Tacchini, Mascari, Guillaume, relevés qui ne donnent que les protubérances ayant une hauteur de quelques minutes d'arc. D'ailleurs, on sait que les protubérances les plus hautes ne sont pas les plus intenses, ou même celles qui ont la partie basse la plus intense. D'autre part, les photographies de la chromosphère entière représentent en général la partie la plus basse et aussi la plus intense de la chromosphère et des protubérances ayant une hauteur de quelques secondes d'arc. Les relevés des protubérances au bord et les photographies de la chromosphère sui' le disque s"nppli(]ucnt donc à des couches dillérentes de
faciiles. Même, ces dernières, d'après les relevés de Tacchini, auraient disparu en 1897 dans la régipn des pôles. Ces différences iront en augmentant jusqu'au minimum des taches, qui aura lieu vraisemblablement en 1900.
» Or, en 1890, i8g6, 1897, les épreuves de la chromosphèr^.- ont montré, constamment, de même que dans les deux années précédentes, de petits maxima de lumière aux |)ôles; on a constaté seulement une légère diminution de leur intensité soit à un pôle soit à l'autre ('). Sur le disque entier, d'autre part, le réseau chromosphérique paraît avoii- subi des variations légères; au centre du disque, là où, en 1894, on comptait quatorze mailles et demie, on en compte treize en 1897. Cette étude de la chromosphère sera poursuivie pendant une période entière.
» D'ailleurs, en 1897, le spectrographe des formes a été amélioré, de manière à fournir une image plus grande de la chromosphère. L'objçctif astronomique de 3"" de distance focale a été remplacé par un objectif de 5'", et le collimateur de o"",?© par un collimateur de o'",65 et d'ouverture plus large. L'image finale de la chromosphère a un diamètre de 85"""; c'est la plus grande image encore obtenue.
» Les nouvelles épreuves présentent plus de détails que les précédentes; elles montrent parfois, entre les mailles du réseau, d'autres mailles plus fines et plus faibles, et il semble que, en employant un appareil encore plus puissant, on puisse atteindre les dernières divisions de la chromosphère. Comme les protubérances ont une structure filiforme, les plages brillantes de la chromosphère sont probablement divisibles en grams et, dans ce dernier cas, les grains chromosphériques correspondront-ils aux grains de la photosphère, à ces grains C[ui apparaissent si nettement sur les belles photographies de M. Jansscn?
» Sur quelques épreuves qui montrent des taches au bord solaire, la chromosphère présente une échancrureau point qui correspond à l'ombre. La partie basse et intense de la chromosphère manque doue au-dessus des
la chromosphère j de là riiUérél qui s'allache à des diflérences dans les varialioos de ces couches.
(') Cependant, les plages les plus brillantes de la chromosphèi-e correspondeiil aux plages brillantes et élevées de la photosphère, qui sont les facuies. Mais, dans la chromosphère, la différence d"iutensilé entre les plages les plus brillantes et les plages voisines est beaucoup plus grande que dans la photosphère. On est conduit à penser que la surface du disque offre encore de petites inégalités aux pôles, après le maximum, mal>rré la disparition des facuies.
taches. Ce résultat est confirmé parle spectre des taches étudiées au centre du disque avec les spectrographes des vitesses radiales. Il explique simplement pourquoi la radiation calorifique (') des taches, si discutée à l'heure actuelle, ne varie pas en intensité avec leur distance au centre; car celle radiation ne subit pas l'absorption par la chromosphère qui est la cause des variations calorifiques pour les points ordinaires du disque. »
ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les transformations singulières des fonctions ahéliennes . Note de M. G. Humbert, présentée par M. Poincaré.
« Soit (5) une surface hyperelliptique aux périodes (^, h, g'), liées par la relation unique c/.g -{- ^h -h yg' ^ o, à coefficients entiers; désignons par (S) une seconde surface hyperelliptique, aux périodes (G, H, G) définies par
où / et /c sont deux entiers vérifiant la relation
)) Pour préciser, je supposerai que (.s) est une de ces surfaces d'ordre huit que j'ai fait connaître ailleurs, et qui sont touchées par trois plans le long d'une quartique de genre deux. L'équation d'une de ces quartiques (cf) est S(a, V, g, h, g') 1=^ o, £r désignant une des seize fonctions thèla du premier ordre; de plus, les modules de la siu-face (s) sont ceux de la quartique. (q). Je ferai la même hvpothèse sur (S), et (Q) sera la quartique &(U.V,G,H,G') = o.
» Cela posé, faisons correspondre à un point u, v de (s) le point U, V de (S), tel que
nous établissons ainsi entre (y) et (S) une correspondance point par point; mais(i) et (S) n'ont pas nécessairement les mêmes modules, c'està-dire que les quartiques (q) et (Q) ne sont pas nécessairement iden-
(') Les radiations luiniiieuses et actiniques restent aussi à peu près constantes, mis les mesures les plus précises ont été faites avec la radiation calorifique.
tiques. Nous allons chercher les conditions nécessaires et suffisantes pour qu'il y ait identité.
» La transformation (T) fait correspondre à la quartiqiie (Q), d'équation &(U, V, G, H, G') = o, tracée sur (S), une courbe 'l{u, v) = o, tracée sur (s); <i(«, i') est une fonction qui vérifie les relations
'h(ll -f- I , t') = i(«, i' -h f) = '■!'(«, «'),
^{it + 5-, r + h) = ■}(«, ,,)p-^"^'<"'-^'r'-.+™,s,.^
et la courbe <li{u,v)^o est de genre deux, avec les mêmes modules que(Q).
» Si, maintenant, les courbes (q) et (Q) sont identiques, on a le droit de supposer que les surfaces (s) et (S) le sont également; il existe donc une transformation univoque de la surface (s) en elle-même, faisant correspondre à la courbe tl/(«, <') = o la quartique plane {q), c'est-à-dire la courbe ^(11, r, g, h, g') = o.
» Cette transformation est évidemment de la forme
V^lii ^- y.r -i-const., V = 7-' u -h u.'i' -+- const. ,
les X et i). étant des constantes; pour cpi'elle soit uni^oque, il faut et il suffit qu'elle soit (à des constantes près) du type
(T') U'= A/i + Oyc, \' = — bxii -h (A — bp )v,
X et 0 étant des entiers liés par la relation
(2) 1- — ;if)X-^0-xY = ± I.
» Enfin, en exprimant que le point (11, c) décrit la courbe 'l{ii, (■ ) = o, quand le point (C, \") décrit la courbe ^{U',y, g, h, g') = o, on trouve
c'est-à-dire que la substitution (T) est le carré de la substitution (T').
» Or, les substitutions (T) sont des puissances d'une d'entre elles, que je désignerai par (t), et de là résultent aisément les conséquences suivantes :
» Si (T) est une puissance paire de (^), les équations (2) et (3) donne-
ront pour a et 0 des valeurs entières [en prenant -f- i au second membre de (2)], c'est-à-dire que la surface (s) admettra une transformation univoque en elle-même, faisant correspondre à la quartique (17) la courbe
qui a les mêmes modules que (Q ) : les courbes (q) et (Q ) ont donc les mêmes modules.
» Si (T) est une puissance impaire de (/), il faut que (T' ) soit de déterminant — I, c'est-à-dire que la forme '/.- — [ibl -hO-ay doit pouvoir représenter le nombre — 1 . On voit aisément que cette propriété dépend uniquement du discriminant A = |i^ — 4 ^V- Donc :
)) i" Si A est tel que la forme puisse i-eprésenter — i , la substitution (T') existe, et l'on en conclut que les courbes (17) et (Q) ont encore les mêmes modules;
» 2° Si A est tel que la forme ne puisse représenter — i , la substitution (T') n'existe pas, et les deux surfaces (s) et (S), bien que se correspondant point par point, n'ont pas les mêmes modules, c'est-à-dire que les modules de Richelot formés respectivement avec les périodes g, h, g' et G, H, G' ne sont ni les mêmes, ni réductibles les uns aux autres par une transformation ordinaire du premier ordre.
» Enfin, dans ce même cas, on établit que la surface (i) étant donnée, il n'y a qu'une seule classe de suriaces (S) qui lui correspondent point par point et qui aient des modules différents.
)) La valeur la plus petite de A donnant lieu à ce cas remarquable est A = 12, car pour A == 5 et 8 les formes correspondantes /.- — 7,6 — 6- et \- — '2fi'- peuvent représenter — i, et les cas de A = 4 et ç) sont à exclure comme elliptiques. »
ANALYSE M.VTHEiMATlQUt:. — Sur les fo/iclioas discontinues ilcvetuppables e/i séries de fonctions continws. Note de M. R. Baike , présentée par M. E. Picard.
« Dans une Note, présentée à l'Académie le 8 novembre 1897, j'avais indiqué le problème suivant : Ou supjJOsc qu'une fonction de deux variables réelles est continue par rapj)ort à chacune d'elles; on considère les valeurs que prend cette fonction sur une courbe continue; cette succession de valeurs est une fonction qui peut être discontinue ; quelle est
exaclenicnt la nature de celle fonclion? Je me propose d'indiquer, (i:ms ia présente Note,' un théorème qui résout complètement cette question, en même temps que d'autres questions d'une nature un peu dillérentc; en particulier, nous déterminerons toutes les fonctions discontinues susceptibles d'être représentées par des séries de fonctions continues.
M T. Je pose d'abord quelques définitions. Une fonction de / étant donnée, je prends, dans l'intervalle de variation de f, un ensemble parfait E[E ^ E']. Soit A(/ = /„) un point de E; dans l'intervalle (/„ — x. t^-h y.). si petit que soit x, se trouvent des points de E; les valeurs de la fonction en ces points ont un maximum et un minimum qui, lorsque a tend vers o, tendent vers des limites M et /w; j'appelle o> = M — m V oscillation en A de la fonction, par rapport à l'ensemble parfait E. Si o = o, la fonction sera dite continue en A par rapport à l'ensemble E.
» Cela posé, il n'v a que trois cas possibles :
!) 1° On a, en tout point de E, o) = o; la fonction sera dite alors continue i-elati^ement à l'ensemble E :
» 2" Dans tout intervalle x,3, contenant à son intérieur des points de E, il V a des points de E pour lesquels to = o; la fonction sera dite ponctuellement discontinue relativement à E ;
» 3° Il existe un intervalle y.3 qui contient des points de E à son intérieur, mais qui n'en contient aucun pour lequel co = o; la fonction sera dite totalement discontinue relativement à E.
» Ces principes étant posés, on a le théorème suivant :
)) Soit une fonclion de x et y, continue en tout point par rapport à y, et telle que. entre deux droites parallèles à Ox, y := x , v=|î(x<;^), existe toujours une droite y = y iy- <C " <C ?) ^"^ laquelle la fonction est continue par rapport à x. On prend une courbe continue et sur celle courbe un ensemble parfait E. La fonclion, r?lative.rmnl à E. est ponctuellement discontinue.
» Un cas particulier, oii cette proposition s'applique, est celui que j'ai rappelé plus haut, à savoir le cas où l'on suppose ia continuité eu tout point par rapport à chacune des variables.
» Indiquons un autre cas intéressant. Soit une fonction /(a:, v) continue par rapport à l'ensemble x,y partout, sauf sur Oa;, où elle est seulement continue par rapport à y. Le théorème s'applique à la fonction discontinue f{x,o). Plus généralement, si l'on a une fonction continue par rapport à l'ensemble {x,y) à Vintérieur d'une aire A limitée par un contour C, et si, en chaque point de C, il v a continuité suii'anl la normale, le théorème s'applique à la fonction ainsi définie sur le contour C.
» Reprenons le cas où les disconlinuités n'ont lieu que siu- Ox, et prenons une suite de quantités r, , y.,, ..., y,,,... tendant vers o; on voit que la fonction discontinue f{x , o) est la limite de la suite de /onctions continues /(''^,y,), y (-^..^'a). • ■ ■ . fi^^Y/!)' • • • • ou, ce qui revient au même, la somme de la série de fonctions continues
convergente pour toute valeur de œ.
» On peut, en partant de là, établir le théorème suivant : » Si une série, dont les termes sont des fonctions continues de x, est convergente pour chaque valeur de x, elle représente une fonction qui est ponctuellement discontinue relativement à tout ensemble parfait.
» H. Réciproquement, si une fonction f(x) est ponctuellement discontinue relativement à tout ensemble parfait, il existe une suite de font-lions continues f (x), fn(x), .... ffx), . . . , qui, pour chaque valeur x^ de x, tend vers f{x^'). Autrement dit, la fonction est représentahle par une série convergente
u, (x) +■ u., {x) -I- . . . + u,fx) +
les u étant des fonctions continues. D'ailleurs, on peut remplacer celte série par une autre dans laquelle les termes sont tous des polynômes, de sorte que nous avons ainsi déterminé la condition nécessaire et suffisante pour qu'une fonction d'une variable léelle soit développable en série de polynômes.
» III. Pour démontrer cette réciproque, j'emploie une méthode fondée sur la considération des ensembles; cette méthode fournit en outre une nouvelle forme de la condition précédente, et un moyen de décider si une fonction donnée est représentable ou non par une série de fonctions continues. J'indique brièvement ici les définitions qui me sont nécessaires.
» Soit c un nombre positif quelconque. .l'appelle P l'ensemble des points où l'oscillation de la fonction /"(.t) est ^n. Je forme, s'il y a lieu, P^ (i2 est le premier nombre ti'ansîini de la troisième classe); on sait que P^ est parfait. Soit P, l'ensemble des points de P*^ où l' oscillation par rapport à V^ est ^c (si P'-= o, je ]îoserai P, =: o). Soit de même Po l'ensemble des points de P^ où l'oscillation par rapport ii P^^ est^a.
» On définit ainsi P,, P^, ..., P„,.... Si l'opération ne se termine pas.
il existe des points communs à tons les ensembles P„ ; soit P^ l'ensemble de ces points. On déduira P^,^, de P„, P„+2 de P^^,, etc., comme on a déduit P, de P; on arrive ainsi à définir P», a étant un nombre transfini quelconque, de première ou de deuxième classe ; on voit également ce qu'il faut entendre par Po.
» Cela posé, quelle que soit la fonction dont on est parti, il existe un nombre x de la première ou de la deuxième classe pour lequel on a : Pa= Poi-i = . . . = Po. De plus, Pq est parfait.
» 5/, quel que soit n, on a Po = o, la fonction est développable en série de fonctions continues.
» 5/, au contraire, lorsque a est suffisamment petit, o/i a Po ^ o, la fonction n'est pas représentable de cette manière; on voit, en effet, qu'elle est alors totalement discontinue sur l'ensemble parfait Po.
» IV. On peut étendre une grande partie des résultats qui jirécèdent au cas où l'on remplace la notion ordinaire de limite par la notion de limite généralisée , due à M. Borel. On a, en particulier, le théorème suivant :
» Si une série
u, (x) -+- u^^Jr) + . . . -I- u„(x) -T- . . . ,
dont les termes sont des fonctions continues, est sommable pour toutes les valeurs de X comprises dans un intervalle, et si la somme des n premiers termes reste limitée ( ' ), la somme S (a;) de la série (^définie par M. Borel) est une fonction ponctuellement discontinue sur tout ensemble parfait, et par suite une fonction représeniable par une série convergente de fonctions continues. »
RADIOGRAPHIE. — Caractères de la transformation des rayons X par la matière. Note de M. G. Sag.vac, présentée par !M. Lippmann (-).
« J'ai montré qu'un corps quelconque exposé aux rayons X émet en tous sens, suivant un mécanisme que j'ai précisé (^Comptes rendus du 7 février), des rayons secondaires S moins pénétrants que lesravonsX incidents dont ils sont la transformation. Le pouvoir de pénétration des rayons S est de plus en plus faible et la transformation des ravons X est de plus en plus
(') Cette restriction n'est d'ailleurs pas nécessaire ; on peut se contenter de supposer, par exemple, que la somme Sn(jr) des n premiers termes est, pour toute valeur de x, inférieure à A", A étant un nombre fixe.
(*) Travail fait au laboratoire de M. Bouty, à la Sorbonne.
