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)> Les valeurs de c^ , c\ resp. Co seront déterminées si l'on pose

» Les équations que je viens d'établir appartiennent à la catégorie des équations sur lesquelles M. Appell et M. Picard ont appelé l'attention dalis une Note insérée dans les Comptes rendus (21 mars 1881). »

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MÉCANIQUE. — Sur [es équations de la théorie de l'élasticité. Noie (le MM. EuGÈXE et François Cossebat, présentée par M. Éîiiile Picard.

« Les problèmes les i)Ius simples de la théorie de l'élaslicité consislenl à déterminer trois intégrales da syslcme connu

^ ■' ' d.i- ' ôy - Oc

remplissant les conditions de continnilé fondamentales et vérifiant à la frontière d'un domaine donné des conditions qui peuvent être très varices. Les recherches des géomètres italiens, en particulier les remarquables travaux de Belli et de ?J. Somigliana, ont révélé l'analogie étroite qui existe entre ce système et l'équation de Laplace. Nous avons cherché à avancer dans la voie ainsi ouverte et voici le point de vue auquel nous nous sommes placés. Pour fixer les idées, supposons qne u, c, w prennent à la frontière des valeurs données. Si, comme l'ont lait MM. Picard et Poincaré pour des problèmes plus simples, nous envisageons ç comme un paramètre, qui peut, d'ailleurs, être complexe, u, c, w seront des fonctions de E. Nous nous sommes proposé de faire l'étude approfondie de ces fonctions de E. En posant ainsi la question, on embrasse tous les travaux auxquels elle a déjà donné lieu ; en particulier les recherches intéressantes de M. Lauricella ne constituent an fond qu'un premier procédé pour former ces fonctions dans le voisinage de E = o. Mais une lacune se présente au point de départ même de M. Lauricella : l'existence unique de la solution du problème considéré n'a été, en effet, établie par Betti que pour E ^ ^ ; cette lacune doit tout d'abord être comblée.

» Dans un Mémoire deBorchardt, public en iS^S, se trouve un résultat curieux de calcul qui a été rappelé par M. Cesàro et qne l'on peut expliquer et généraliser en le rattachant à une idée générale qui a déjà inspiré M. Picard. Le système (i) ayant son origine dans un problème du c;ilcul des variations, cherchons une fonction c qui soit une forme quadratique par rapport aux dérivées premières de n, c, w, avec des coefficients fonctions de a-, j, ;; et telle que la méthode des variations appliquée à l'intégrale fffadxdydz- conduise aux équations (i). Le problème est indéterminé et l'on a la solution intéressante

( logo ) où X, Y, Z sonl trois fondions arbitraires ne dépendant respectivement que de X, y, s. Cette indétermination de la fonction a est importante et nous a conduits, entre antres 'résultats, à une modification précieuse des formules de Betti et de M. Somigliana. Faisons X = Y = Z = i , nous retrouvons l'expression de Borchardt et nous en déduisons que si u, v, w vérifient les équations (i), ainsi que les conditions de continuité fondamentales dans un domaine clos à la frontière duquel ces fonctions s'annulent et ont des dérivées premières continues, on a

où T,, T2, T3 sont les composantes de la rotation ; on voit que si ^ -|- r est positif, u, V, w sont des fondions harmoniques qui, étant nulles à la frontière, sont identiquement nulles.

M Le cas où ^ -l- i = 0 doit attirer l'attention. Le système (i) acquiert alors un degré de généralité exceptionnel, et il est clair que, dans ce cas, il existe normalement des intégrales s'annulant à la frontière d'un domaine clos; on peut faire disparaître cette singularité en assujeltissant u,v, w à annuler A^S et à avoir des dérivées troisièmes continues dans le domaine; ces conditions supplémentaires sont vérifiées d'elles-mêmes pour les valeurs de 'i, différentes de — i, et permettent d'étendre à la valeur — i 1 1 proposition sur l'existence unique.

» Pour indiquer nettement le but que nous nous sommes efforcés d'atteindre à l'égard des fonctions de ^, nous prendrons un exemple simple. Le problème de la sphère résolu d'abord par Lamé, lorsque les efforts sur la surface sont imposés, a été repris par Lord Kelvin qui a traité aussi le cas où les déplacements sont donnés à la frontière; le même problème a fait ensuite l'objet des recherches de Borchardt et de MM. Cerruti, Somigliana, Marcolongo, et enfin, les travaux de MAL Fontaneau et Almansiont conduit à une solution j^articulièrement élégante qui, néanmoins, ne dilfère pas essentiellement de celle de Lord Kelvin. On peut présenter cette dernière de la manière suivante : soient «0, r^, jVo des fonctions harmoniques prenant les valeurs données pour u,v,wk la frontière d'une sphère de rayon a ayant pour centre l'origine; formons

, , , I .1 dll^ (}l'(, (Jn-'o ■ • 1 1 I • • i^

le développement de -y-;- 4- -p + -p- en série de polynômes spheriques F,-; définissons des nombres /c, et des polynômes U, par les formules

' l ' 2 ( 2 « H- I ) • - ^ dx

j)uis deux autres séries de polynômes Y,, W, se déduisant des U, par per-

( lopi ) mutation circulaire de .r, i-, : ; on a

(2 ^ // ^ ?/«-+-; ^ rrzzj.

et (les formules analogues pour v, w, en remplaçant u^, U,, par v^,, V,. puis par »'„, W,. Ces formules mettent en évitlenceque 11, f, «vsont des fonctions uniformes de ç admettant les mêmes points critiques, savoir le point singulier essentiel — 2 et les pôles simples k^, k., . . .: les résidus du pôle ^, sont les fonctions k'-lj;. kj V,, k^W; qui Jouissent de la propriété de s'annuler à la frontière et de vérifier les équations ( t) oii l'on fait ; = kj.

M On peut d'ailleurs exprimer autrement les résultats précédents. G désignant la fonction de Green, il existe, pour la sphère, des fonctions harmoniques F,- (qui ne sont autres que les polvnomes sphériques) vérifiant l'équation fonctionnelle

, ,. ■ , i^ r TfàG àF, dG dF, dG dF,\ , , , . ,

4r:r,(.r, V, =) = k. J J j (^ jj- - ^ ,p + j7 ^ ,) ''•^- <^' '^=- '

laquelle entraîne les relations f J'J'FiF^drdv dz ^^ o (i ^ k); si l'on détermine des fonctions U,. V,, W, s'annulanl à la frontière et dont les paramètres différentiels du second ordre soient égaux respectivement aux dérivées ])remières de F,, ces fonctions vérifieront les équations (i) où E = ki et donneront lieu aux formules telles que (2).

» Ces résultats ont une certaine analogie avec ceux rencontrés par MM. Picard et Poincaré; mais une particularité se présente qui tient à l'existence du point sini^u'ier essentiel — 2. On connaît l'objection faite à la démonstration du principe de Dirichlet donnée par Riemann, objection qui n'atteint pas le résultat final. Ici elle a plus de portée. Si nous considérons l'intégrale ///(A, /< -i- A, ('+ A, <v ) f/r «'vw'^, où les fonctions u, V, «■ s'annulent à la frontière, satisfont aux conditions de continuité fondamentales et sont telles que f f f^' dx dy dz ^i, elle a un minimum I qu'elle atteint; si l'on adjoint les conditions supplémentaires indiquées plus haut, parmi lesquelles se trouve A. 6 ^ o, cette fois, le minimum n'est pas atteint.

» Nous avons cherché à voir dans quelle mesure tout ce qui précède s'étend au cas général; l'application des raisonnements emplovés dans ces derniers temps par MxM. Picard et Poincaré et par M. Le Rov ofl're des difficultés intéressantes qui nous ont conduits à reprendre l'étude des méthodes, analogues à celle de Neumann, proposées par M. Lauricella et par M. Poincaré. »