a g, 5 -i-o. 2,89 -1- 2. 1,6 i8:io

Avril 1 b 8,0 +0. 8,95 —7.57,5 18:10

[^ c 6.9 +0.56,34 -h II. 20, 2 9: 6

Positions des étoiles de comparaison.

Ascension

Étoiles droite Hcduclion Déclinaison Réduction

de moyenne au moyenne au

compar. 1898,0. jour. 1898,0. jour. Autorités,

h ui s . , „

a 21.31.58,69 +0,40 +20.27.27,2 —5,8 B.B. t. VI, n° 4969.

// 22. 8. 0,18 +0,29 +29.42.19,2 —5,2 Cambr. (Engl.), n" 18277.

c 22.20.24,33 -1-0,26 +32.16.26,5 — 4.8 Armagli, second Catalogue, :i" 3oif).

( io83 )

Positions apparentes de la comète.

.ascension

Dates.

Temps moyen

droite

Log. fact.

Déclinaison

Log. fact

d'Alger.

apparente.

parallaxe.

apparente.

parallaxe.

Mars 23. . .

■ir>697„

Avril I . . .

Ïi7i3„

Mars 23. — Diamètre du novau 16'; ensemble de la nébulosité 3'; l'éclat estimé du noyau est celui d'une étoile de 8'= grandeur; angle de position de l'axe de la queue 264°. Avril 1. — Angle de position de l'axe de la queue 269°.

ANALYSE MATHÉ.MATIQUE. — Expressions des dérivées des fonctions thêta de deux arguments au moyen des carrés des fonctions thêta. Noie de M. E. J.4nN'KE, présentée par M. C. Hermite.

« Dans une Note que j'ai eu l'honneur de communiquer récemment à l'Académie (^Comptes rendus, t. CXXV, p. 486-489), j'ai établi, en suivant la méthode due à M. F. Casparv, des systèmes orthogonaux composés avec les dérivées des fonctions thêta de deux arguments. La même méthode m'a conduit à un théorème qui permet de représenter, d'une façon linéaire, les fonctions

-i-{\nK?(o:,,x,)Z:^-^x,,x,)-...-i-^^(-iy{%')^':?(^,,x,), (a = 1 , 2, 3, . . .),

et tout particulièrement les deuxièmes dérivées logarithmiques des fonctions thêta de deux arguments, au moyen des carrés des fonctions thêta. » Avant d'établir ce théorème, rappelons d'abord le résultat que les seize fonctions f^'|' forment les coefficients d'un système orthogonal, dans l'arrangement suivant :

f(îpl

f*pl I2* »

-vi'\

ÎT,

pp)

f»PI

fi^^

-fi;^

iT,

i" Semestre. (T. CXXVI, N" 15.) l4o

( io84 ) (voir /oc. cit., ihéorèmell). Si l'on pose^, =^ x^^= o, ces fonctions prennent les valeurs constantes C)j\^', que j'ai indiquées dans la Note citée (voir théorème III). Pour abréger, je désignerai ces systèmes orthogonaux par (f»;?') et(CLVO.

» De plus, représentons par r, ( j le système orthogonal (~^'i(^(, a;,))

découvert par IM. F. Caspary et qui découle, d'ailleurs, du système (f^^') pour p = o, et par V.^i ) le système qui s'en déduit en échangeant les

lienes et les colonnes. Si l'on v substitue les caractéristiques > > > '^ - 1 o I 1 o 1 I

les systèmes se changeront en

» Cela posé, je tire de mes recherches le théorème remarquable :

» Le système (C^|')' compos'^ par les sysicmes respectifs V.i )' ^vf o o^

1\( )'^À )(''^^''-)' ./O"'"'' deux quadruples de systèmes orthogonaux de Informe

A,j, dzA,,.. =r:Â3;, ±\,j

rpA,,, A,;, dzA.j, ±A,j /y=i,2,3,4\

q::A.,^-, h= Ajy, q: A.^-, A,^-

qui remplissent identiquement les condiiions d'orthogonalitc. Les deux signes correspondent aux deux quadruples respectifs.

« D'un autre côté, les coefficients A/y(f",y = i, 2, 3,4) coïncident avec les coefficients homologues c'. f^'J".

» Ainsi on obtient huit différentes expressions des seize coefficients du système (f '/') au moyen des carres des fonctions thêta.

)> Pour p = I, le système (f^T) prend la forme

{'zl:^{x,,x.)d-\G^xl-^{x,,x.,)), et le système {CH') la forme

)» Dans ce cas particulier, je vais communiquer les expressions des

( io85 )

coefficients A,,, A^,, on a alors :

f^O < -0 (■^)+fa.<,-0,(^)+C03<3-03('^)+ ^11-2, (*■)

c, cl ^; (a^) + c,.<,2r;,(^) + C23c:,&L(^)-(- <'^IA^)

(x)dHog5,

c, cl &; (a;) + c,,c';,&;,(^) + C3,c'„&;,(a?)4- c'„l^l,{œ)

»dnog% (

= cl^l

»rf-l0g&5 <

^0 < &^ (a7) + c, cl ^ (x) + c, c'I St.; (x) -\- c\;S:;^(x)

x)d'\og^, (

=cm(

'^)rf=l0g&3 (

'a;)(/^logS5

^'^LC-^)-!- c;^r^,(a;)+ f'Ô2~02(^) + C5c;&^ (a;)

=cim

x)d-log?:, (

^0 < -:3(^) + fo.<,~= (œ) - c,,cl^^', (x)- c;,Sr^ (^)

'a-)</-log&,3(

c, cl ^; (x) — c,,c",.^^l(x)-^c,,c:.^^^(x)-h- c;^^;,(x)

— c^Ss- (

»^'log£r,3(

c\ cl &; (x) — c,,cl,^^%{x) -h c,^cl^^^(x) -i- c;^2r=,(-r)

»â?=logâ,3(

»rf'log&,3

Co c; ^\,{x) + c., cl zl^{x)-c, cl 'zU{x)+ c-^^l (x)

'a;)fPlog2r,3(

(:o,cl,X,(x)-hc,.cl„J;l^(x)-c,,cl.^^l^(x)-h c;&^ (x)

^)^^logS,3(

<^o3<3^o.(^)+C23<3-^(-^)-C34^';,S;, (a:)+ c',-2:= (ir)

»rf=log&„(

»^=logS,3(

» La qualriènie expression du coefficient c^Sr^ (a;) f/-logS-5(x) contient les formules importantes dues à M. Konigsberger (voir Journal/, d. reine u. angew. Math., t. LXV, p. 3 }2)-

» De ce théorème découlent encore, comme cas particuliers, de nombreuses formules découvertes par MM. M. Krause (voir Z)/e Transformation der hyperelliptischen Functionen ersler Ordnung, B. G. Teubner, Leipzig), Pascal (voir Ânn. di Mat., t. XXIV) et Bertolani (voir Batt. Giorn., t. XXXIII et XXXIV). ).

( io86 )

ANALYSE MATHÉMATIQUE . — Sur les systèmes d'équations différentielles auxquels satisfont les fondions quadruplement périodiques de seconde espèce. Note de M. M. Krause, présentée par M. Picard (').

« Je choisis comme fonctions fondamentales les grandeurs

V^ c)log5„(n,.n. )

.. . X Sr„S,((',-)-«,, <'2-i-«2) ~— Si; ' r:o, 1,3,24,

dans lesquelles les arguments des fonctions ^ seront désignés parf,, v.^, a,, a, et les arguments des fonctions hyperelliptiques par u,, u^, a.,, aj. On peut établir des systèmes d'équations différentielles auxquels satisfont les quatre fonctions ç^C") et d'autres auxquels satisfait chacune d'elles, par exemple ©, (u).

)> I. Pour la première catégorie je choisis d'abord le système

/ dxo

l OU, - ' ^ ^ '

' du, — y

du.

Ja,

dai

I (?~rn

» Ici on a posé :

(3) a?, = S,(fl)<p,(M), y^=^^"-ii^, 5:1,24-

» U s'ensuit un système semblable, si l'on dilférentie par rapporta u^ au lieu de u,.

» En outre, il existe des systèmes d'équations différentielles de second ordre. Je recommande à l'attention trois d'entre eux, dont toujours une

(') Celle Noie a élé présenlée dans la séance du 4 avril.

( 'o87 ) équation s'exprime ainsi

, , y 0 10^-— — - dlog^^— — -

Ici l'on pose

Js =

Ce système montre quelques analogies avec l'équation dlfférenlielle de Lamé au cas des fonctions elliptiques.

» II. Les systèmes d'équations différentielles auxquels satisfait la fonction Oi{u) seule sont plus importants. Je prends d'abord un système de deux équations différentielles de premier ordre.

» Si l'on pose

ou aussi

le système s'exprime ainsi

il est donc d'une grande symétrie et simplicité.

» Quant aux équations différentielles de second ordre, la difliculté consiste à former des expressions différentielles qu'on peut représenter sous

la forme de

ici M est une fonclion hyperelliptique qui peut s'exprimera l'aide des fonctions 'z. La détermination de M ne présentant aucune difficulté, j'ai attaché l'importance principale à la formation d'expressions différentielles dudit genre. Le nombre en est très grand. Si l'on n'admet dans les coefficients

( io88 )

que de telles fonctions qui deviennent infiniment grandes pour les zéros de S'(,(i') seuls et si l'on suppose que les coefficients des grandeurs

d-cB, à^'ix O'-a,

du] dui du-, i)ul

soient constnnls, trois simples et importantes équations, auxquelles on pourrait réduire toutes les autres, s'expriment ainsi

in) .v„( a) î T'T -i- 2 A. ^r-^. r ^ 7— H ^n"'''>5 K" ) i r~5" ^1 J-'i| »

/«\ z--. c,v.,^<^''^' '^- r/7^'^''^■ i 3)-|i.5-,(«)53(fl)Sr„(a) /„<jy, <?».\ ,t

\ ) > ■S^ ' du\ -"^ ''oui &u(«) \ «"1 ««2/ '

(ç,) -&.(a)&,(a):-o(«)^o,(«)^ + [^-&L(«)[/.(<')^-t-/.(0£]=?,M3. » Ici on a posé

-&,&,^,(a)&,,(rt)c = &,,&,,&„3(«)&,(«; + Sr3,2r,3S;,(rt)&„,(a).

» Avec cela les grandeurs £^((')j\î,, &^((')]\L, resj). w2(r)M3 sont des fonctions thêta de la caractéristique zéro et de second resp. troisième ordre. M, peut s'écrire

tandis que pour JL s'obtient la valeur