C. p., 1898, I" Semestre. (T. CXXVI, N
( '384 ) formémcnt à dos fondions abéliennes (non dégénérescentes) de n variables ll^, u.,, . . ., u,i, c'est-à-dire de telle manière qu'à un système de valeurs des u ne corresponde en général qu'un groupe et que, inversement, à un groupe arbitraire de la série ne corresponde qu'un seul système de valeurs des u, abstraction fjute des périodes. Le nombre n, comme il est classique, est égal au genre p de la courbe.
» Une question analogue peut être posée pour les surfaces algébriques. Est-il possible de trouver sur certaines surfaces algébriques des séries de groupes de n points, dépendant de in paramètres, et correspomlant uniformément à des fonctions abéliennes (non dégénérescentes) de aw variables u,, u.,, ..., u.,„, c'est-à-dire de telle manière qu'à un système de valeurs des u ne corresponde en général qu'un seul groupe, et que, inversement, à un groupe arbitraire de la série ne corresponde qu'un seul système des u, aux périodes près? Cette circonstance peut se présenter pour « = i, et l'on a alors des surfaces liyperelliptiques. Il paraissait vraisemblable que, pour d'autres valeurs de «, on aurait des classes de surfaces algébriques jouissant de la propriété indiquée. En réalité, il n'en existe pas; c'est ce que je me propose de montrer dans cette Note.
)) Considérons donc la surface
f(x,y, z)— o (de degré /?i),
et, en supposant /î> i, soient (x,,y,, z,), ..., {x„,y^, z-„) les coordonnées de n points arbitraires de cette surface. En désignant par ^,, l.,, ..., Ej,,^., des fonctions rationnelles arbitraires symétriques des x, y, z en nombre 2« + I , on aura une hypersurface
dans l'espace à 2/i + i dimensions, et celte hypersurface correspondra uniformément au groupe des n points. D'après les hypothèses faites, les coordonnées d'un point arbitraire de la surface F s'exprimeront uniformément par des fonctions abéliennes de in variables u,, u.,, ..., u.,^, et l'on en déduit facilement que le genre géométrique de F est égal à un. De plus, la surface F aura 2/i intégrales de différentielles totales de première espèce, dont l'inversion donnera les ç et par conséquent le groupe des n points (x,y, z)en fonctions abéliennes des u. lien résulte que la surface initiale / possédera in intégrales de dilTérentielles totales de première
( 1.385 ) espèce linéairement indépendantes
(i) jPiclx^Qidy (? = I, 2, ..., 2rt),
les P et Q étant rationnelles en oc, y, :■; et le groupe des n points sera donné par les 2/1 équations
li=n •
(2) 2 P,(^A. r^. -a) c/x,, + Q,(^A. V/,, Z^) dy^ r= C?H^. (/ = I , 2, . . . , 2/z).
» Ceci posé, montrons que la surface/nc peut être d'un genre géométrique supérieur à l'unité. Soit, en effet,
(a) jpi..,y)d.dy
une intégrale double de première espèce de /". Formons l'intégrale multiple d'ordre in
(3) //. ..f-^^L-^cIx,dy, . . . dxjy,,
où s, et /j désignent respectivement S(.r,, y,-, ^,) et /'zX^i< Yi' '-ô- O" peut écrire
d.r, dy, . . . dT„dy„ = T^j— '
et le déterminant fonctionnel qui figure au dénominateur est une fonction symétrique de (a^,, y,. -,) ... (a?„, y„, z„). Remarquons d'ailleurs, en passant, que pareille circonstance ne se présenterait pas dans le cas d'une courbe, et d'une manière plus générale dans le cas d'une fonction algébrique d'un nombre impair de variables indépendantes. » Il résulte de là que l'intégrale (3) est de la forme
ff...fQdl,dl,...dl,„,
où 0 est une fonction rationnelle symétrique de (.r,, y, , s, ). . .{x„, y^, z„). Elle est donc une intégrale multiple d'ordre 2« de première espèce pour la surface F. Si / est de genre supérieur à un, il est clair alors que l'on pourra former pour l'hypersurface F plus d'une intégrale multiple d'ordre 2« de première espèce.
» Le genre géométrique de / est donc au plus égal à un ; mais, d'autre part, il ne peut être égal à zc'ro. On a, en effet, l'identité relative à toute surface possédant deux intégrales de différentielles totales de première espèce
où M est un polynôme adjoint d'ordre m — 4- Si le genre de / était nul, on aurait
P,Qa- I\Q, = o;
par suite, les 2n intégrales (i) seraient fonctions les unes des autres, et les 2« équations (2) ne pourraient être distinctes.
» En désignant donc, comme plus haut, par (7.) l'intégrale double de première espèce relative à la surface / de genre un, nous aurons les identités
p,Q.-PaQ, = a,,^^,
les Art étant des constantes qui ne sont pas toutes nulles.
» Considérons trois intégrales linéairement indépendantes parmi les intégrales (1) correspondant à i = i, 2,3. Nous pouvons, par exemple, supposer que
C étant une constante différente de zéro, et soient
P.Q3-P3Q.-AI, P3Q, P.Q3=b|,
A et B étant deux constantes qui peuvent être nulles. De ces identités on conclut
AP, + BP„ + CP;, = o,
AQ, + BQ, + CQ3 = o,
et ces relations sont inadmissibles, puisque les trois intégrales de différentielles totales considérées sont linéairement indépendantes. Nous arrivons donc à une contradiction, et le théorème énoncé est établi. En dehors des surfaces hypcrelliptiques, te problème classique de l'inversion ne peut s'étendre à des équations de la forme ( 2 ). »
CHIMIE. — Sur quelques causes d' incertitude dans le dosage précis de l'acide carbonique et de l'eau dilués dans de grands volumes d'air ou de gaz inertes ; par M. Armand Gautier ( ' ).
« Lorsqu'au cours de mes recherches sur les gaz carbonés de l'atmosphère j'ai voulu priver l'air de sa vapeur d'eau et de l'acide carbonique préexistant pour doser ensuite les très petites quantités de ces mêmes corps pouvant se former au contact de l'anhydride iodique ou de l'oxyde de cuivre porté au rouge, j'ai été surpris de ne pas obtenir de résultats satisfaisants.
» L'air préalablement décarboniqué sur une longue colonne de perles de verre baignées de lessive de potasse, puis séché sur l'acide sulfurique bouilli, imprimait à de nouveaux tubes à chaux sodée et à acide sulfurique, placés à la suite comme témoins, des variations de poids tantôt positives, tantôt nulles, dès que les volumes de gaz circulants étaient un peu notables (5o litres à loo litres).
M Ces observations ont été l'origine du présent travail.
» Absorption et dosage de i acide carbonique très dilué. — L'absorption de l'acide carbonique par les alcalis caustiques est-elle complète? L'air, l'azote ou l'oxygène peuvent-ils être entièrement privés d'acide carbonique si celui-ci est dilué en cent mille fois, un million de fois, son volume de gaz inertes? C'est une question que les fondateurs de l'Analyse chimique s'étaient déjà posée et qu'ils avaient généralement résolue par la négative. J. Boussingault, dans son Mémoire sur la possibilité de constater l'existence des miasmes et la présence d'un principe hydrogéné dans l'airÇ-^, écrivait :
» A première vue il paraît, très facile de résoudre celle question (Texislence d'hydrocarbures dans l'air). On conçoit que, pour s'assurer de la présence d'hydrogène carboné, il suffirait de doser l'acide carbonique qui doit se former pendant la combustion de ce gaz. Eh bien! la détermination d'une très petite quantité d'acide carbonique disséminée dans une grande masse d'air sec m'a présenté des dij/icullcs qu'il n'a pas été encore en mon pou^'oir de lever complètement.
» Dumas et Stas dans leur célèbre Mémoire Sur le véritable poids
(') L'Académie décide que cette Communication, bien que dépassant les limites réglementaires, sera insérée en entier.
('-) Ann. de Chim. et de Pliys., ■}." série, l. LW'II, p. 172; i834.
atomique du carbone ('), ayant remarqué que, pour arrêter tout l'acide carbonique circulant dans une grande masse d'air ou d'oxygène, il ne suffît pas de bien laver ces gaz dans un condenseur de Liebig à lessive de potasse concentrée, le faisaient passer en outre dans plusieurs tubes en U, de 3o à 4o centimètres de long, pleins de pierre ponce humectée de la même liqueur, et ils observent :
» L'acide carbonique échappé au condenseur rempli de potasse liquide s'arrêle presque entièrement dans le premier tube en U; le second ne gagne que quelques milligrammes.
» Si donc le passage du gaz à travers un grand tube de Liebig, puis un tube à ponce potassique de 4o centimètres de long est insuffisant, et si plusieurs milligrammes d'acide carbonique vont encore se condenser dans le troisième tube, on peut se demander si les décimilligrammes n'échappent point lorsque l'acide carbonique arrive à cet état de dilution extrême.
» Ce problème, en apparence indifférent pour les cas ordinaires, devient fort important s'il s'agit d'analyses très précises, telles que celles de l'air et de ses variations avec les lieux, les époques de l'année, l'état de l'atmosphère, etc.; les recherches de traces d'acide carbonique comme constat du début de certaines réactions ; le dosage des petites quantités de ce gaz dérivant de la combustion des minimes proportions d'oxyde de carbone ou d'hydrocarbures pouvant être contenus dans l'air, etc.
» Voici mes observations à ce sujet. Si l'on fait circuler de l'air à Iravers un barboteur à potasse concentrée suivi de longs tubes à perles de verre mouillées de la même lessive, et qu'après avoir ainsi lavé l'appareil de son acide carbonique, on interpose, sur le trajet du gaz, un tube à eau de baryte demi-saturée et parfaitement limpide, après le passage de 4 litres à 6 litres d'air lavé à la potasse, l'eau de baryte louchit sensiblement et le trouble augmente peu à peu. Cette observation montre que l'eau de baryte est un excellent réactif pour reconnaître des traces d'acide carbonique diluées dans un grand volume de gaz inerte.
» Quelles sont les limites autour desquelles peuvent osciller les quantités d'acide carbonique qui échappent ainsi à la potasse? Pour le savoir, j'ai fait circuler lentement de l'air fdtré sur laine de verre, d'abord dans un liebig à lessive de potasse (r/= i,3), puis dans un tube de o"", 80 de long et de o'",o3 de large, légèrement incliné, plein de perles de verre
( ') Attn. de CJnm. et de P/iys.. 3° série, l. I ; p. 5. Voii' particulièrement p. 18.
( '389 ) mouillées de la même liqueur. Les gaz passaient alors dans un pelil tube bourré, sur une longueur de o'", 3o, de laine de verre destinée à arrêter toute poussière de liquide qui aurait pu être entraînée; enfin il traversait nn dernier liebig à potasse. Quand l'appareil était rempli d'air ainsi bien lavé dans l'alcali, on interposait, entre le tube à laine de verre et le dernier tube à potasse, un barboteur à cinq boules remplies, avec toutes les précautions voulues, d'eau de baryte titrée (environ 3^', 5o par litre) parfaitement limpide. Ce barboteur contenait exactement 20'^'= d'eau de baryte. Lorsqu'on eut fait circuler 4 litres d'air, la première boule avait déjà manifestement perdu de sa limpidité. Le trouble augmenta peu à peu sans aller au delà de la quatrième boule. Après avoir ainsi fait circuler en quarante-huit heures 90 litres d'air, on dosa l'alcalinité résiduelle de l'eau de baryte( ' ) ; on trouva ainsi que l'acide carbonique retenu par la barvte répondait, pour 90 litres d'air, ào'"^,87 deHCl titré, correspondant à o^'',oo2i deCO-, c'està-dire à o", 972 calculés à o" et 760""" (-). Ainsi, après un lavage soigné à la potasse, chaque litred'air contenait encore o^si, 028 d'acide carbonique; la potasse avait laissé échapper o'^^'^,oio8 d'acide carbonique par litre, soit un volume égal aux 1 1 millionièmes environ de l'air circulant.
» Telles sont les proportions qui peuvent échapper quand on ne prend pas des précautions tout à fait minutieuses. Mais, même à ces dilutions dans l'air, la potasse peut encore agir sur l'acide carbonique; quant à l'eau de baryte, elle peut facilement manifester des quantités relatives au moins vingt fois plus petites. En exagérant les précautions, employant u n barboteur spécial à serpentin de o",90 de développement, et deux tubes à perles de verre tassées, noyées dans la potasse caustique sur une longueur île i™,6o,
(') On doit opérer ce dosage dans le barbotear même entièrement rempli d'air lavé à la potasse. L'eau de baryte doit avoir été titrée avec un acide chlorhydrique étendu de façon que i volume de celui-ci sature exactement i volume de l'eau de bai-yte employée. Les deux liqueurs sont mesurées successivement dans la même pipette. Elle porte trois traits au zéro, à 19"'= et 20'^'^. Au moyen d'un caoutchouc, on arme l'extrémité de la pipette d'un petit tube de verre assez effilé et l'on compte le nombre de goulles de HCl titré qui coulent du trait 19 au trait 20 placés sur la partie étroite de la pipette (dans notre cas, 35 gouttes par centimètre cube). Pour le dosage duCO-, quand la baryte titrée a été traversée par l'air, on ajoute rapidement dans le barboteur qu'on agite, et au moyen de la pipette, 19™ de HCl titré, puis l'on parfait le titrage, en présence d'une trace de plitaléine, en comptant les gouttes employées; elles donnent la fraction qui complète la neutralisation du dernier centimètre cube. On détermine ainsi le titre sans erreur sensible de volumes, à environ -^ de centimètre cube près.
(-) On s'assura que ce léger précipité était bien formé de carbonate de baryte.
( i39o ) j'ai recueilli, dans un barbotenr à eau de baryte à cinq boules placé à la suite, la faible quantité de o'^SioS d'acide carbonique par loo litres d'air. Seules, la première de ces cinq boules à eau de baryte et la seconde, d'une façon douteuse, avaient louchi, dans ce second cas, démontrant ainsi que ce réactif arrête presque instantanément les moindres traces d'acide carbonique. Ces o'='^,io3 de CO' en loo litres d'air représentent io3 volumes pour loo millions, soit environ un millionième du volume de l'air circulant (' ). Il est évident, puisque de si faibles proportions louchissent l'eau de baryte des deux premières boules et qu'elle reste tout à fait claire dans les autres, que la réaction est presque instantanée, et que la limite oîi ce réactif manifeste et arrête l'acide carbonique est encore loin d'être atteinte, même à ce degré de dilution extrême.
» Il suit de ces observations que, lorsqu'on voudra déterminer des quantités d'acide carbonique avec une approximation de un volume sur cent mille ou un million de volumes des gaz circulants, on devra employer le dispositif suivant : un premier tube à potasse caustique (liebig ou autre) qui absorbera la majeure partie de cet acide; un second tube de 12 a i5 cent, de long, rempli de cristaux d'hydrate de baryte très légèrement humecté d'eau, qui arrêtera les dernières traces de gaz carbonique. Je me suis assuré, en effet, qu'il suffit de ce simple dispositif pour enlever jusqu'aux moindres proportions d'acide carbonique, car un tube à cinq boules, muni d'eau de baryte, à 'j^' par litre, placé à la suite, n'a pas donné le
(') Je me suis demandé si ces traces d'acide carbonique qui semblent échapper à la potasse pourraient provenir non de ce que celle-ci n'absorbe pas tout l'acide carbonique sous ces grandes dilutions, mais de ce que l'air circulant, en agissant sur le caoutchouc qui lie les pièces de l'appareil, donnerait en s'oxydant un peu d'acide carbonique, ou encore de ce que ce dernier gaz proviendrait de l'air du dehors par diffusion à travers le caoutchouc lui-même, ainsi que Peyron l'avait dit autrefois (voir Arin. de Chim. et de Phys.,i' série, t. III; p. 292). Pour m'en rendre compte, j'ai fait circuler durant quarante-huit heures à 14° P'"ès de 100 litres d'air, préalablement lavé à la potasse et à la baryte, dans un long tube de caoutchouc désulfuré aux alcalis, de 3min d'épaisseur, préalablement lavé à H Cl, à l'eau et enfin séché à joo dans l'air bien sec. (C'est celui dont je me sers toujours dans ces expériences.) Ces joo''' d'air décarboniqué parcourant en deux jours et demi ce caoutchouc de 4'">5o de long, n'ont donné, en barbotant à leur sortie dans un autre' tube à eau de baryte, qu'un nuage à peine visible et tout à fait indosable. De bons caoutchoucs épais, reliant même en nombre les pièces d'un appareil où circule de l'air ou de l'oxygène, ne laissent donc pas passer d'acide carbonique par diffusion, ou n'en donnent qu'une trace absolument indosable en 100 litres en s'oxydant.
plus faible louche, même après le passage de 80 litres d'air ainsi décarboniqué.
» On remarquera que les quantités d'acide carbonique qui échappent à la potasse et que fixe ainsi la baryte sont précisément de l'ordre de grandeur des volumes d'oxyde de carbone ou d'hydrocarbures que l'on peut avoir à doser dans l'air après leur oxydation par PO' ou CuO porté au rouge.
» Dosage, de /Vrtw. —Depuis J. Boussingault, les chimistes ont l'habitude de dessécher les gaz sur la ponce ou l'amiante imprégnées d'acide sulfurique('). C'est ainsi qu'ont opéré Dumas et Boussingault dans leur beau travail Sur la véritable constitution de l'air. Ils faisaient arriver sur le cuivre porté au rouge, destiné à enlever l'oxygène, l'air préalablement desséché sur l'acide sulfurique bouilli (-). Ainsi faisait aussi Brunner('). C'est encore par l'acide sulfurique que Boussingault dessécha son air dans ses Recherches sur la quantité d'acide carbonique contenue dans l'air de Paris et de la campagne (^). C'est enfin par le même moyen que Dumas et Stas séchèrent leur oxygène dans leur célèbre travail Sur le véritable poids atomique du carbone (^).
» On sait aujourd'hui qu'une trace d'humidité reste dans les gaz ayant circulé sur l'acide sulfurique. Mais, d'après les uns, cette trace serait très sensible; d'après d'autres (A. Favre) elle serait inappréciable, même en opérant sur 40'" d'air, pourvu que le contact et le temps soient suffisantsC).
» J'ai voulu me renseigner sur ce point fort important pour mes lecherches. L'air privé d'acide carbonique passait lentement (i litre environ à l'heure) dans un barboteur à SO^H-, puis dans un tube en U garni sur 3o'^°' de long de ponce sulfurique préalablement privée de chlorures (') et, de là, dans un tube à perles de verre imprégnées de SO^H" récemment bouilli, de 20*^" de hauteur. Un tube à anhydride phosphorique, préalablement chauffé dans l'air sec à 25o°, était placé à la suite, mais séparé du précédent par un tube étroit plein de laine de verre pour arrêter toute poussière liquide. On fit passer 80 litres d'air à i4''-i6°. Le tube à P-O' gagna o'"^'',;^^ soit o™fi'',375 par 100''' d'air. Nous verrons tout à
(') Voir Ann. de Chim. et de Phys.. 3= série, t. I; p. 16.
(2) IbicL, t. III, p. 264.
(3) IbicL, t. m, p. 3io.
(') Ibid., t. X, p. 457! Noie et p. 470.
( = ) Ibid., I. I, p. 17.
(') Ibid., t. XII, p. 224.
('•) Quatre fois portée au rouge en présence de SO*H' et la%'ée chaque fois.
