C. R., 1898, 1" Semestre. (T. CXXVl, ^• 20.) 1 tk

( «^^92 ) l'heure que ce chiffre doit subir une légère correction; en réalité, o"^,353 d'eau seulement étaient restés en loo litres d'air; ils avaient passé, à i5°, à travers une série de tubes d'une longueur totale de i'",20 garnis d'acide sulfurique concentré. Ce chiffre minime montre qu'il n'y a rien à changer aux conclusions de fait résultant des recherches fondamentales des auteurs que nous venons de rappeler.

» Dans les expériences de grande précision, c'est l'anhydride phosphorique préalablement chauffé vers 230" à Soo" jusqu'à constance de poids dans un courant d'air bien sec qu'il convient d'employer pour dessécher les gaz. Mais ce n'est point là encore la difficulté principale qui m'a préoccupé. C'est bien plutôt la suivante :

» Quand de grands volumes de gaz, tels que l'air, ont barboté à travers une série de tubes à ponce, asbeste, perles de verre, etc., chargées d'acide sulfurique concentré, ces gaz n'emportent-ils pas avec eux, outre la très petite quantité d'eau qui échappe, une certaine proportion d'acide sulfurique en Aapeur (')? L'acide sulfurique concentré aurait-il, à la température ordinaire, une tension de vapeur entièrement nulle? Et au cas où il n'en serait pas ainsi, la quantité d'acide entraîné avec l'air circulant peut-elle fausser les résultats? Par exemple, dans les recherches de Dumas et Stas sur le poids atomique du carbone, cette vapeiu* d'acide sulfurique entraînée, si elle existe, a été comptée comme acide carbonique. De même, dans les expériences de Boussingault sur le dosage de l'acide carbonique de l'air, la vapeur d'acide sulfurique emportée par l'air circulant peut-elle avoir contribué à élever le taux apparent de l'acide carbonique de l'air? Lorsqu'il s'agit de doser les petites proportions de cet acide correspondant aux traces d oxyde de carbone ou d'hvdrocarbures existant dans l'air, cette indétermination devient plus grave encore.

» Désireux de lever cette difficulté, j'ai fait circuler lentement de l'air à travers une longue série de tubes à acide sulfurique concentré (près de i'",6o de barboteurs et de perles de verre imprégnées de SO^H- bouilli). Cet air avait passé, au préalable, dans un tube porté au rouge, puis sur la lessive de potasse et l'hydrate de baryte. Après barbotement à travers l'acide sulfurique bouilli, il parcourait un tube plein de coton de verre sur une longueur de 20 centimètres, et arrivait enfin dans un liebig à eau de baryte parfaitement claire. Après le passage de 192 litres d'air à i3°, cette eau de baryte ne s'était pas sensiblement troublée. Toutefois,

(') Voir C. .Maiuunac, Ann. de Cliim. el de Phys., 3" série, l. XXXIX, p. 192.

( i393 ) pour y rechercher les traces possibles d'acide sulfurique, j'ai acidulé la liqueur de H Cl pur. évaporé à sec au bain-marie, et repris par l'eau chaude acidulée. Il est resté une petite quantité de sulfate de baryte, s'élevant, toutes corrections faites, à o^s^^jo pour 192 litres d'air (' ), ce qui répond à o"^'', 00032 de BaSO' ou à o'"-^'', 00022 de SO'H- par litre d'air (-).

» Ces o'"='',o22 de vapeur d'acide sulfurique existaient donc au maximum en 100 litres d'air ('). Ils ont pu être comptés comme acide carbonique dans les célèbres expériences ci-dessus rappelées. Mais de telles doses sont, dans ces cas, absolument insignifiantes.

» De l'observation qui précède il résulte une autre conséquence assez imprévue, i litre d'air saturé de vapeur d'acide sulfurique, à 1 3", autant qu'il a été possible de le faire, contient o™s% 00022 de ce corps. La densité de vapeur de SO'H'- à iS" et à la pression normale étant de 3,4oenviron ('), I litre de cette vapeur pèserait 4^'', 38. Or o"^'', 0002 2 de vapeur d'acide SO'H" existant en i litre à i3° représentent, à la pression ordinaire, o",oooo5o, soit ..^ ^^^ ^^^ de, litre. Il s'ensuit qu'à la température de i3° à i4°, la tension de vapeur, dans l'air, de l'acide sulfurique bouilli n'arrive pas à dépasser, dans ces conditions, ..^ „„'p „„„ (un vingl-millioniè;ne) d'atmosphère. Lne si faible tension ne peut s'expliquer, je crois, que par une polymérisation très élevée à froid de la molécule SO*H-.

» Pratiquement, on peut donc, pour dessécher les gaz inertes, les faire, sans aucun inconvénient, barboter dans l'acide sulfurique sans s'exposer à entraîner une quantité appréciable de ce corps; mais il est bon de se rappeler que cet acide peut, à froid, dissoudre les gaz circulants; par exemple, il se charge de son volume d'acide carbonique (Th. Schlœsing fils). Il faut donc lui substituer, lorsqu'on le peut, l'anhydride phosphorique, préalablement chauffé dans l'air sec jusqu'à invariation de poids, s'il s'agit de dessiccations bien complètes et (.l'analvses gazeuses très précises. »

(') ChiflTre uu peu approximatif, puisque la variation de poids du petit creuset avec ses cendres s'élevait à o'°='',2 avec une erreur possible de ;', décimilligramme. Mais on peut affirmer que le sulfate recueilli pesait moins de o'^s'',2.

(^) On s'est assuré directement que l'eau debarvte employée ne contenait pas trace de sulfate. On s'est aussi rendu compte par I-O^ que le SO'H- recueilli n'était pas dû à de l'acide sulfureux entraîné : il n'y avait pas d'iode mis en liberté.

(') D'après ]Merget, 100 litres d'air saturés de vapeur de mercure à 20° en contiennent 7 milligrammes.

(') D'après la formule P = 28,88f/, où P représente le poids atomique (=98), et d la densité cherchée par rapport à l'air.

PHYSIQUE. — Sur un actinomèlre absolu ( ' ). Note de M. A. Crova.

« Un actinomèlre absolu doit donner, au moyen de dispositifs très jjrécis, la valeur absolue de l'intensité calorifique de la radiation solaire au moment de l'observation ; il doit servir à étalonner les actinomètres, qui donnent seulement des valeurs relatives, et les actinographes qui les interpolent; ces derniers instruments doivent être très sensibles, mais aussi simplifiés que possible et très transportables, les observations devant être faites autant que possible loin des lieux habités, et à de grandes altitudes.

» ]jes actinomètres absolus sont exposés à des causes d'erreur provenant de la difficulté de déterminer rigoureusement la valeur en eau du corps actinométrique (calorimètre contenant un liquide et im thermomètre, ou simplement un réservoir thermométrique) ; la chaleur incidente sur la face noircie doit traverser des parties solides et liquides qui lui font subir un retard et une perte d'intensité difficiles à évaluer en raison de la différence incoimue des températures de la surface insolée et de la moyenne du corps actinométrique.

» J'ai dit depuis longtemps (-) qu'une détermination actinométrique est une opération calorimétrique complète qui doit être faite pendant un temps aussi court que possible, à cause des fluctuations incessantes de la radiation solaii'e que j'ai démontrées et enregistrées au moyen de mon actinographe ; si sa durée est considérable, le résultat obtenu se rapporte à celui de la quadrature de la courbe ^des variations pendant la durée de l'observation.

» Si l'on connaissait exactement la valeur en eau du disque de mon actinographe thermo-électrique ('), et si l'on pouvait déterminer rigoureusement son coefficient de déperdition de température, on réaliserait un actinomèlre absolu dont la précision pourrait être aussi grande qu'on le voudrait; cette idée a servi de point de départ à la réalisation de l'actinomèlre que je vais décrire. Depuis quelque temps déjà, M. Ivnut-Ang-

(') Ce travail a été fait à l'inslitul de l'hysique avec l'assistance de M. Compan à qui je présente tous mes remercîments.

(-) Annales de Chimie et de Physique, 5" série, t. XI, p. 443- (') Comptes lendiis. l. Cl. p. 4''^i i^î^j-

strum (' ) a emplové dans son actinomètre un disque de cuivre muni d'un élément thermo-électrique. M. Chwolson (-) a construit un instrument du même genre, basé sur le même principe; leur disposition et leur mode d'observation diffèrent des méthodes précédemment emplovées.

» Soit, dans mon actinomètre, un disque très bon conducteur de la chaleur, d'épaisseur rigoureusement uniforme et connue, et de diamètre indéfini, noirci antérieurement, poli sur sa face opposée, exposé normalement à la radiation solaire; soient a le pouvoir absorbant de sa face noire, q l'intensité calorifique incidente, m et m' les coefficients de conductibilité extérieure de la face noircie et de la face polie, et 6 son excès thermométrique au temps t sur une enceinte à température constante dans laquelle il est placé, à l'abri des mouvements de l'air ambiant.

» Les surfaces isothermes sont des plans parallèles aux deux faces du disque, et les lignes de propagation du flux calorifique, des normales.

» Soit c la valeur en eau de i"' de la surface du disque, c'est-à-dire le produit de sa chaleur spécifique rapportée à l'unité de volume par son épaisseur en centimètres à t°; les formules connues du refroidissement donnent, pour de très faibles excès thermo-électriques 6, et pour une lame très conductrice :

eût ^^ aq ôt — (m + ni )HOl = \^aq — {^m + m)^\ ôt, dont l'intégrale entre (; = o, 0 = O^ ) et (/ et h) est

■xc ^ '

en désignant par a. := ^ — le coefficient de déperdition thermomélrique

qui est constant pour de très faibles valeurs de 0 ; on en déduit

ac e — Bue-"" " ~ a I — e-="

dans laquelle tout est connu dans le second membre, excepté x qu'on détermine en observant les valeurs de 0 à l'ombre de trente en trente secondes; pour y z;= o, 6 ^^O^e"", d'oîi l'on déduit des valeurs constantes de a,.

» En réalité, le disque n'est pas indéfini; il y a sur sa surface latérale,

(' ) Mémoires de la Société royale des Sciences d'Upsal, 26 mars 1886. (-) Refiertoriiim fur Aleleorologie; Siùnl-Pélenhoarg, 4 novembre 1892.

ou sa tranche, des déperditions par rayonnement, convection et conductibilité des points d'attache; les surfaces isothermes ne sont phis planes, mais présentent, sur les bords, leur concavité à la surface noircie; mais, si le diamètre du disque est suffisant et son épaisseur assez faible, elles pourront rester planes au centre où la température sera la même que celle d'un disque indéfini, ce qui dispense de l'emploi d'un anneau de garde; la perte par la tranche est très atténuée si on la polit avec soin, et si l'on suspend le disque par trois fds très fins.

» Si l'excès ihermométrique est très faible, quelles que soient les lois de ces trois sortes de déperdition, elles pourront être réduites à une fonction linéaire de 6 et être englobées dans un même coefficient a; celte hypothèse est justifiée dans mon appareil pour lequel a a été trouvé constant, et égal à 0,075.

)) Un disque de cuivre galvanoplastique de o"',oo5 d'épaisseur sur o'",o4 de diamètre (l'expérience indique quel est le di:iniètre suffisant) est suspendu par trois fils de cuivre rouge de ~ de millimètre de diamètre, fixés sur sa ti-anche, dans le plan d'un anneau de cuivre rouge isolé par trois supports en ébonite; son centre est dans l'axe d'une enceinte cylindrique en laiton de o'",o8 de diamètre sur o™, "35 de longueur, munie d'une double enveloppe remplie d'eau que l'on brasse, pendant l'opération, par une insufflation d'air; le fond est formé par un obturateur à baïonnette, qui porte les trois supports isolants, et un disque de verre dépoli d'un diamètre supérieur de o™,oo2 à celui du disque de cuivre, et sur lequel on centre son ombre.

» Le disque est à o™,i4 du fond, et la partie de l'enceinte qui est audessus de lui est munie de dix diaphragmes en aluminium mince, polis en avant, noircis en arrière, distants l'un de l'autre de o'",o2, et formant une chambre d'amortissement pour les courants d'air, comme dans le bolomètre lie M. Langley et dans mon actiuographe; l'ouverture de ces diaphragmes est de o'",o44; l'instrument étant surtout destiné à des étalonnages, on opère autant que possible par un temps calme.

» La température du disque s'obtient en fixant solidement, dans un orifice très fin pratiqué dans son axe et en arrière, un fil de constantan de ^ de millimètre, qui traverse un bouchon d'ébonite fixé au fond de l'enceinte; l'anneau de cuivre, au centre duquel est fixé le disque par trois fils tendus, est aussi muni d'un fil de cuivre traversant un bouchon d'ébonite; enfin, dans l'eau de la double enveloppe est une soudure cuivre-constantan, placée à la hauteur du disque, dont les fils isolés par des tubes de

( '397 ) verre traversent aussi un bouchon d'ébonite; les deux fils de constanlan sont fixés l'un à l'autre, et les deux fils de cuivre sont en relation avec un galvanomètre à cadre mobile dont on lit les déviations à l'aide d'une lunette et d'une échelle placée à 3™ du miroir.

» Le tout est monté sur un support en altazimut muni de cercles divisés et dentés actionnés par deux pignons qui permettent de le maintenir centré vers le Soleil; vu le poids de l'instrumen!:, le cercle azimutal roule sur un plateau muni d'une gorge à billes; ce support a été construit avec soin par M. Pellin; l'actinomèlre a été construit dans l'atelier de l'Institut de Physique.

» Une détermination complète dure au plus trois minutes en tout; on observe à l'ombre de trente en trente secondes; on enlève ensuite un diaphragme formé de lames parallèles d'aluminium, et l'on observe de trente en trente secondes au soleil, en éliminant la première observation qui correspond à l'état variable dont la durée est d'environ quinze secondes; on peut remettre l'écran et observer à l'ombre pour vérifier la constance de <x. L'écran d'aluminium peut être ouvert ou fermé à distance par l'observateur au moyen dune clef de Morse qui actionne un système électromagnétique auquel est fixé l'écran.

» Immédiatement après l'observation, on peut déterminer la valeur d'un degré en millimètres de l'échelle; on enlève le fond de l'actinomètre et l'on plonge le disque dans un calorimètre à eau ; deux thermomètres, donnant le -7^ de degré, sont placés dans le calorimètre et dans l'enceinte au contact de la soudure, et les deux masses d'eau sont brassées par une insufflation d'air; avec mon instrument, un degré de différence thermométrique correspond à quatre-vingt-neuf divisions de l'échelle, et ce nombre n'a pas varié à deux mois d'intervalle. On peut apprécier une demi-division ou un quart de division et obtenir une approximation de l'ordre des millièmes.

» La détermination terminée, le disque est égoutté, plongé dans l'alcool et séché; le noir, préparé comuie nous l'avons indiqué ('), reste intact et conserve son pouvoir absorbant égal à 0,98 environ.

» Avec de bien faibles excès (1° ou i°,5^ les formules se simplifient : on développe les exponentielles en série et, en négligeant les puissances de a.t supérieures à la première, on a, pour le retroidissement et le réchauffement, des marches uniformes qui ramènent les corrections à la

(') MM. Crova el CoMPAX. Comptes rendus, t. CXW I, p. 707.

( i398 ) forme très simple que leur avait donnée Ponillet. Les formules complètes ne donnent guère plus d'exactitude si les excès sont très petits. »

de la tiihcrcidose vraie. Note de M. S. Arloing.

« M. Ledoux-Lebard avait étudié l'agglutination du streptobaciile de la pseudo-tuberculose par le sérum de lapins pseudo-tuberculeux; mais personne, à ma connaissance, n'avait signalé l'agglutination du bacille de la tuberculose vraie avant ma Communication au Congrès de Médecine interne tenu cette année à Montpellier (i3 avril 1898). Depuis, M. Dubard a fait savoir qu'il avait observé ce phénomène de son côté (Société de Biologie, 3o avril 1898). La condition préalable nécessaire était l'obtention d'émulsions bien homogènes de bacilles de Roch. On a pu voir comment je suis parvenu à me les procurer (^Comptes rendus, séance du 9 mai 1898).

» Je vais donner aujourd'hui le résumé de mes expériences capitales sur ce sujet.

M I. Le bacille de Koch peut être agglutiné par certains sérums; sous ce rapport, il a des réactions analogues à celles de plusieurs autres microbes pathogènes.

)) Si, à quelques gouttes de culture ou d'émulsion homogène de bacilles déposés dans un petit tube ad hoc, on ajoute y^ de sérum sanguin de chèvre saine et vierge de toute inoculation, on ne provoque pas d'agglutination; tout au plus, voit-on se déposer au fond du tube quelques fins grumeaux en douze à seize heures. Si l'on substitue à ce sérum celui de chèvres ayant reçu une longue série d'injections sous-cutanées de tuberculine ou de bacilles de Koch plus ou moins virulents, le phénomène de l'agglutination se manifeste rapidement avec une gi-anile intensité et d'une manière complète.

» On voit aussi le léger pouvoir agglutinant naturel du sérum de l'âne s'accroître considérablement sous l'influence des mêmes injections.

» IL J'ai fait agir sur des émulsions de bacilles le sérum d'individus normaux appartenant à des espèces différentes. Il semble que le pouvoir agglutinant du sang normal soit en raison inverse de l'aptitude des espèces à contracter ou à supporter la tuberculose. Ainsi il est nul dans le sang du cobaye et du lapin, animaux facilement tuberculisables, très léger dans le sang de la chèvre, plus accusé dans le sang du bœuf et de l'âne, très mar-

( l3y9 ) que dans le sang du cheval, animaux qui présentent exceptionnellement la tuberculose ou qui la subissent souvent sans de très grands dommages.

)) III. Le sérum, rendu fortement agglutinant par des injections souscutanées de bacilles de Roch ou de tuberculine, agglutine aussi très bien les cultures en milieu liquide ou les émulsions homogènes du bacille de la tuberculose aviaire et, en particulier, de la tuberculose du pigeon.

» Je ne voudrais pas tirer de ce fait une déduction rigoureuse; cependant, je dirai qu'il plaide en faveur de l'opinion de plus en plus accréditée que le bacille de la tuberculose aviaire est une simple variété du bacille de Roch.

» IV. L'action de mes scrums agglutinants s'exerce également bien sur les bacilles eu voie d'évolution dans du bouillon glvcériné. A des ballons garnis de bouillon et ensemencés, j'ai ajouté {, ~, ^ de sérum agglutinant de sang de chèvre. Au point de vue de la quantité, la culture a été remarquable dans chaque ballon. Seulement, les bacilles s'agglutinaient au fur et à mesure de leur développement, de manière à former de petits grumeaux qui se déposaient immédiatement sur le fond. Au-dessus de la couche de prolifération, le bouillon restait clair et transparent. Le phénomène était au maximum dans le ballon chargé d'un quart de sérum sanguin.

» V. Les chèvres qui me fournissaient du sérum agglutinant étaient en expérience depuis fort longtemps. J'ignorais le moment où leur sérum avait acquis cette propriété. J'ai cherché à le déterminer par une expérience suivie pas à pas. J'ai cherché aussi à faire apparaître le pouvoir agglutinant dans le sang du lapin.

» Le3i mars 1898, j'entreprenais des injections de tuberculine brute sous la peau d'une chèvre et d'un lapin et d'émulsions de bacilles sous le derme de sujets de cette dernière espèce. Avant le 12 avril, tous jouissaient du pouvoir agglutinant. I-a chèvre avait reçu ô*^^*" de tuberculine brute; le lapin, 25 gouttes; un autre lapin, G grumeaux de bacilles de Roch faisant au total le volume d'une noisette.

» Le pouvoir agglutinant peut donc naître et se développer en peu de temps par ces procédés.

» VI. Je me suis appliqué ensuite à déterminer le parti que l'on pourrait tirer de l'agglutination du bacille de Roch dans le diagnostic ou le pronostic de la tuberculose sur l'homme, m'inspirant des observations de M. Widal et de M. Paul Courmont sur le pouvoir agglutinant du sang des typhiques à l'égard des cultures du bacille d'Eberth.

G. R., 1S98, i" Semestre. (T. CXXVI, N° 20.) l8l

( i4oo )

» Pour donner à mes essais plus de netteté, j'iù eu soin d'opérer avec le sérum et non avec le sang complet. Les quelques gouttes de sang, obtenues d'une piqûre à la lancette, étaient donc abandonnées à elles-mêmes dans un petit tube de verre; elles laissaient transsuder naturellement leur sérum, ou bien j'écrasais le caillot et je soumettais le tube à l'action de la force centrifuge. Le sérum était ajouté aux émulsions dans la proportion de j-g, parfois de ~; l'observation prenait fin au bout de vingt-quatre heures.

» Dans mes premiers essais, j'ai fait agir sur les émulsions : i° du sérum de personnes saines en apparence; 2° du sérum de personnes offrant les symptômes de la tuberculose pulmonaire; 3" du sérum de personnes atteintes d'une variété de la tuberculose chirurgicale; 4° du sérum de malades ayant des affections diverses, mais dont quelques-unes étaient peutêtre su|3erposées à la tuberculose. J'ai distingué trois sortes de résultats : agglutination et clarification parfaites, agglutination et clarification incomplètes, agglutination et clarification nulles ou insignifiantes.

» Voici le pourcentage dans chaque catégorie : le sérum des personnes atteintes ou supposées atteintes de tuberculose pulmonaire vraie agglutine g4 fois sur 100, 67 fois d'une façon parfaite, 87 fois incomplètement; prélevé sur des malades frappés de tuberculose chirui'gicale, il agglutine gi fois sur 100, 35 fois parfaitement, 56 fois incomplètement; venant de malades divers, il agglutine 32 fois sur 100, 1 1 fois très bien, 21 fois imparfaitement: enfin, retiré de personnes supposées saines, il agglutine seulement 22 fois sur 100, 1 1 fois très bien et 11 fois incomplètement.

» La proportion des résidtats positifs indiquée ci-dessus permet d'espérer que l'on pourra tirer parti, en clinique, de l'agglutination du bacille de Koch. L'avenir nous dira la raison pour laquelle le phénomène parait quelquefois en défaut. Je poursuis de nouveaux et nombreux essais avec cet objectif. »

M. Ad. Caunot fait hommage à l'Académie du premier Volimic de son « Traité d'Analyse des substances minérales », puis il ajoute :

« Ce Volume doit être bientôt suivi de deux autres, dans lesquels seront exposés les caractères analytiipics des divers éléments, métalloïdes et métaux, et de leurs principaux comj)osés, les moyens de les reconnaître, de les isoler les uns des autres, de les doser, enfin d'analyser les substances minérales les plus varices.

{ i4oi )

» Le Volume qui vient de paraître est consacré aux; méthodes générales de r analyse qualitalive et de l'analyse quantitative.

» On trouvera décrits, dans les premiers Chapitres, les procédés des recherches qualitatives par la voie sèche, au moyen du chalumeau, de la lampe à gaz et du spectwscope, puis les procédés microchimiqaes. enfin les recherches par la voie humide proprement dite, avec une marche svstématique nouvelle, destinée à peruîettre de classer par groupes et ensuite de distinguer et de caractériser les divers éléments, v compris les éléments rares, que les progrès de la Science et de l'Industrie ne permettront plus désormais de laisser dans l'ombre.

» Un Chapitre spécial est destiné à l'étude des réactifs employés dans l'analvse.

» Dans la seconde Partie du Volume sont exposées, avec les détails jugés nécessaires, les opérations préliminaires à effectuer pour la préparation des échantillons, puis les opérations de voie sèche qui peuvent intervenir aux différents degrés de l'analvse, ensuite les opérations de la voie humide. Un Chapitre relatif à Vélectrolyse complète l'exposé des opérations, qui peuvent conduire au dosage pondéral.

M Les Chapitres suivants présentent les différentes méthodes de dosage par liqueurs titrées ou méthodes volumétriques et les essais calorimétriques, qui méritent parfois d'être recommandés comme particulièrement rapides.

» Enfin le dernier Chapitre réunit tous les procédés de recherche qualitative et iVanalyse quantitative des gaz. J'ai cru devoir insister principalement sur les gaz contenus dans l'atmosphère, dans l'air des mines, dans les gaz des foyers domestiques et industriels, dans le gaz d'éclairage, dans les eaux douces et les eaux minérales. »

MEMOIRES PRESENTES

L'oBSEKVATOiRE DE 3Ioxt-Ha.milton cnvoic à l'Académie deux photographies de l'éclipsé totale de Soleil du 21 janvier 1898.

(Commissaires : MM. Cornu, Wolf, Callandreau.)

M. Louis Théxard soumet au jugement de l'Académie un Mémoire intitulé : « Principe universel des forces ».

(Renvoi à la Section de Mécanique.)

MM. Peixieiî adressent une Note sur le « problème de l'aviation ». (Renvoi à la Commission des aérostats.)

CORRESPONDANCE

MÉCANIQUE CÉLESTE. — Sur le développement de la Jonction perturbatrice. Note de M. Adrien Fépald, présentée par M. Poincaré.

« Soient cr et ra' les angles que font, avec la ligne des nœuds, les lignes des périhélies des orbites de deux astres. Soient encore u et u' les anomalies excentriques des deux planètes. Posons enfin

)) On sait que le carré de la distance des deux astres, que je désignerai, avec M. Poincaré, par Y{x,j^), est un polynôme du second degré par rapport aux quatre variables x, y, x~*,y-'.

» Le coefficient A„,j de e''"""*"*"'', dans le développement suivant les puissances de e'" et de e'"' de la partie principale de la fonction pcrtuibatrice -=, est donné par la formule

. i r r a,.-b dxdy

» Dans un Mémoire Sur les périodes des intégrales doubles et le développement de la fonction perturbatrice {Journal de Mathématiques, 5* série, t. III), M. Poincaré a développé une méthode pour étudier les relations de récurrence qui lient entre eux les coefficients A„ 4.

» D'après ces relations récurrentes, toutes les transcendantes A„j peuvent s'exprimer au moyen d'un nombre fini d'entre elles, qui seront considérées comme seules distinctes.

» Le nombre des transcendantes distinctes, qu'il y a dans chaque cas, dépend essentiellement de \a forme et des symétries du polynôme F (x, y").

» Le polvnome ¥(x, y), d'après la nature des termes qu'il contient, présente quatre formes distinctes que nous avons appelées les formes (i), (2), (3)el(/,).

» Nous dirons que le polynôme F('^' Y) présente la symétrie a s'il ne change pas lorsqu'on effectue sur x ety les transformations définies par la substitution a.

( i4o3 ) )) Il suffit de considérer, pour l'objet que l'on a en vue, les substitutions qui sont, ou bien de la formel ^ , '^ J, ou bien de la forme ^ . -,- •

Il V a vingt substitutions de cette nature.

» J'ai cherché les conditions nécessaires et suffisantes que doivent remplir les deux orbites pour que le polynôme F (x, y) présente ces diverses formes et une ou plusieurs de ces diverses svmétries.

» J'arrive ainsi, et en employant, d'autre part, un procédé de discussion semblable à celui développé par M. Poincaré, à former le Tableau suivant :

Forme et symétries de F(a:, r).

Les

deux orbites

sont elliptiques.

Nature et position des orbites.

1° Les deux orbites n'ont pas de position particulière

2» La seconde orbite est dans un plan perpendiculaire au plan de la première et passant par le grand axe de celle-ci

3° Les deux grands axes sont, ou bien confondus avec la ligne des nœuds, ou bien perpendiculaires à la ligne des nœuds

4° Les deux orbites sont égales et placées de façon que ra'^cj-i-II; les sens dans lesquels on compte les longitudes sont tels que, lorsque Ton rabat le plan de l'une des orbites sur l'autre de manière que les lignes des périhélies soient sur le prolongement Tune defautre, ces deux sens coïncident. .

5° Les plans des deux orbites sont perpendiculaires et les grands axes coïncident avec la ligne des nœuds

6° Les deux orbites sont égales, et les lignes des périhélies, confondues avec la ligne des nœuds, sont dirigées en sens contraires. . . .

7° Les deux orbites sont égales, leurs plans sont perpendiculaires, et les lignes des périhélies, confondues avec la ligne des nœuds, sont dirigées en sens contraire

8° Les deux orbites sont concentriques

9° Les deux orbites sont concentriques et leurs plans sont perpendiculaires

Nombre

des

transcendantes

distinctes.

Forme et symétries de F(x,y).

(2); C7,, <j., (2); <Jn '3

La

première orbite est circulaire et la seconde est elliptiqui\

Les deux orbites

sont circulaires.

Nature et position des orbites.

10° Les orbites n'ont pas de situation particulière.

Il" Les plans des deux orbites sont perpendiculaires

12° Le grand axe de l'orbite elliptique est coufondu avec la ligne des nœuds

i3° Le grand axe de l'orbite elliptique est perpendiculaire à la ligne des nœuds

i4" Les plans des deux orbites sont perpendiculaires et le grand axe de l'orbite elliptique est confondu avec la ligne des nœuds

1.5° Le grand axe de l'orbiie elliptique est perpendiculaire au plan du cercle

i6° Le grand axe de l'orbite elliptique est perpendiculaire à la ligne des nœuds et l'excentricité de cette orbite est égale à sinj. . . .

1 7° Les plans des deux orbites ne sont pas perpendiculaires

i8° Les plans des deux orbites sont perpendiculaires

Nombre

des

transcendantes

distinctes.

» La première colonne contient le numéro de la forme du polynôme F(£C, y^ et les symétries qu'il présente.

» Je n'ai inscrit que les symétries qui ne se déduisent pas les unes des autres et qui, à cet égard, peuvent être considérées comme /ondamen/alcs ; ces symétries, au nombre de cinq, sont les suivantes :

» Dans la deuxième colonne, j'ai indiqué la nature et la position des deux orbites, en réunissant par une accolade tous les cas où la nature des orbites est la même.

» Enfin, dans une dernière colonne, j'ai inscrit le nombre des transcendantes distinctes qui subsistent dans chaque cas. »

( i/foS )

GÉOMÉTRIE. — Sur la correspondance quadratique et rationnelle de deux figures planes, el sur un déplacement remarquable. Note de M. Erxest DupoRCQ, présentée par M. Darboux.

« Soient («, A,) et (a.A^) deux transformations dualistiques qui, à tout point a d'un plan P, font respectivement correspondre des droites, A, et Ao, d'un plan P'. dont nous désignerons le point d'intersection para'. On voit aisément que la transformation ponctuelle (a, a) est généralement définie par sept couples de points correspondants; on sait d'ailleurs que les droites A, et Aj coïncident pour trois positions, a, |i et y, du point a : les transformations telles que (o, a') sont les transformations quadratiques rationnelles les plus générales.

» Considérons maintenant une autre transformation analogue (a, a"), résultant de deux nouvelles transformations dualistiques (a, A3) et (a, A4) ; on vérifie sans peine que les droites A,, Ao et A, du plan P' sont concourantes lorsque le point «appartient a une certaine cubique T^, évidemment circonscrite au triangle a^y. La cubique analogue T3 (telle que les droites A,, A2 et A^ correspondant à ses points soient concourantes^ coupera la jirécédente en six points différents de a, ,S, y, et tels que les points qui leur correspondent dans les transformations (a, a') et (a, a") coïncident.

« Ceci posé, considérons toutes les transformations quadratiques rationnelles {a, a"), telles que pour cinq positions données, i, 2, 3, 4. 5 du point a, le point a" coïncide avec a' : toutes les cubiques qui passent par ces cinq poinis et par les points a, ,S, y ont un neuvième point fixe, 6, el il résulte, de ce qui précède, que le point 6" coïncide avec 6'. Donc :

M La donnée de cinq couples de points conjugués dans une correspondance quadratique et rationnelle de deux figures planes en détermine un sixième.

» On voit de plus que :

» La donnée de six couples de points conjugués détermine en général une infinité de couples de points conjugués, qui se correspondent sur deux cubiques.

)) Sur la détermination géométrique des points 6 et 6', associés ainsi à deux quintuples de points donnés, 1,2, 3, 4. 5 et i', 2', 3', 4'. 5', je me contenterai d'indiquer le résultat suivant. Il pxiste, en général, une transformation homographique lelle que les points 1 , 2, 3, 4 correspondent aux

points i', 2', 3', 4'; au point 5' correspondra ainsi un point s : le point 6 est à l'intersection de la droite du point 5 e et de la conique (i 234s)- On obtient ainsi cinq droites concourantes, i a, 2(î, 3y, 4^ et 5s, en même temps que cinq coniques passant par leur point de concours, ce qui permet d'énoncer des théorèmes relatifs aux transformations homographiques.

» Dans le cas particulier 011 les points 5 et e coïncident, le point 6 est indéterminé sur la conique (i2 345). Donc :

» Si cinq couples de points conjugués dans une correspondance quadratique rationnelle sont aussi conjugués dans une transformation homo graphique, ds déterminent, dans la correspondance quadratique, une infinité de couples de points conjugués , qui se correspondent homographiquement sur deux coniques.

» Voici une application intéressante des remarques précédentes : Soient P,, P^ et P3 trois positions dans l'espace d'un plan P, et soit P' un plan fixe; désignons par a,, a., et a^ les trois positions d'un même point, a, du plan P : on obtient une transformation quadratique rationnelle en associant au point a le point où le plan P' coupe l'axe de la circonférence («(aja-j). Les résultats précédents fournissent donc immédiatement la propriété suivante :

)) Si un plan P se déplace dans l'espace de sorte que cinq de ses points restent sur des sphères dont les centres appartiennent à un plan fixe P', // existera dans le plan P un sixième point jouissant de la même propriété.

)) Lorsque les cinq points du plan P et les centres correspondants se correspondent homographiquement, on voit que tous les points de la conique définie par ces cinq points restent à des distances invariables de points qui leur correspondent homographiqueuient sur une conique du plan P' : résultat précédemment signalé par M. Raoul Bricard (' ). »

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les groupes hamiltonicns. Note de M. G. -A. Milleu, présentée par M. Jordan.

« Suivant M. Dedekind, nous appelons groupe hamiltonien un groupe (non abélien) dont tous les sous-groupes sont invariants. Si l'ordre d'un semblable groupe G esX. p'^ p]\. .pi'' (^p, p^, . . . , p^ étant des nombres premiers), il contient un seul sous-groupe (abélien ou hamiltonien) d'ordre

(') Comptes rendus. 16 novembre i8yt).

p^, un autre d'ordre/)^', Ces k-\-\ sous-groupes ne pouvant avoir,

deux à deux, d'opération commune sauf l'unité, chaque opération de l'un d'eux est échangeable aux opérations des autres sous-groupes ('), et G sera le produit direct de ces ^- -h i sous-groupes (-).

» Puisque l'ordre d'un commutateur de G ne peut excéder 2('), l'ordre d'un groupe hamiltonien ne peut être une puissance d'un nombre premier

impair. Donc l'un des nombres p, p est égal à i. Soit p = 2. Les k

groupes d'ordre p^', ... seront abéliens. Or il est clair que tout produit direct d'un groupe hamiltonien d'ordre 2* et de groupes abéliens d'ordre impair est hamiltonien. Nous venons de voir que, réciproquement, on peut former de cette manière tous les groupes hamiltoniens. Il en résulte que l'élude des groupes hamiltoniens d'ordre 2* est d'une importance fondamentale pour l'étude générale des groupes hamiltoniens.

» Soit H un groupe hamiltonien d'ordre 2". Il est évident que chacune de ses opérations d'ordre 2 est échangeable à toutes ses opérations. Soit s^ une opération de H, choisie parmi celles qui ne sont pas échangeables à toutes les autres, et de telle sorte que son ordre 2^ soit minimum. Soit s.^ une autre o[)ération de H, choisie parmi celles qui ne sont pas échangeables à 5,, de telle sorte que son ordre 2^' soit minimum. Puisque les deux groupes cycliques dérivés de s^, s., respectivement sont invariants dans H, et que s, , s., ne sont pas échangeables, on doit avoir 5^^ = s'Y . Le sousgroupe A, dérivé de s'^, s.^ est abélien ; mais le sous-groupe H, dérivé de s,, S.2 est hamiltonien. Toutes les opérations de H, dont Tordre est <^ 2^ se trouvent évidemment dans A,. Donc ;î'= ^, et nous pouvons poser

On en déduit

et comme

of-

il s'ensuit que

P"' mod 2^ si 'i ]>

(jo *,)-■'"' = sf'sf' = I , si |i > 2.

(') DvcK, Afat/iematische Annalen, t. XXII, p. 97; i883.

(-) BiRSSiDE, Theory of groups, p. 4o; 1897.

(') Dedekino, Mathematische Annalen, t. XLYIII, p. 5)7; li