C. R., 1898, I" Semestre. (T. CXXVI. N

n On en déduit

» En faisant une substitution orthogonale dans l'espace à cinq dimensions, on peut supposer

et, par suite,

il Les points M((X|, x^, ^3) et M' (x,, x.,, x^, x^, x-^) décrivent des réseaux applicables; comme a^j = i, on peut énoncer le résultat suivant : » Tout réseau M est 2C d'une infinité de manières. » Comme dans le cas général, les points

N(X,,X,,X3) et N'(Y,,Y, Y,),

dans lesquels on suppose

X,- = p X,-, Y,- = pa7j,

décrivent des surfaces applicables. Les réseaux C qui se présentent ici peuvent se diviser en deux groupes :

» 1° Ceux pour lesquels

prenons par exemple

" a^3+ i<JC'^ » Les points

p! "'. ,— ^ ^i^l et P I— ^i,— ^î— ,-i|

décrivent des réseaux applicables. Le réseau P' se projette sur un plan suivant un réseau orthogonal; il est donc parallèle à un réseau C du paraboloïde de révolution.

» Ce premier groupe forme des réseaux parallèles à ceux qui sont applicables sur le paraboloïde de révolution.

» Les réseaux P et M se coupent suivant une droite L qui décrit une congruence C, 2O. Les deux réseaux O de la congruence L sont des réseaux M. Cette congruence L est aussi parallèle aux réseaux applicables sur le paraboloïde.

» L'équalion ponctuelle du réseau P' est à invariants égaux; donc :

» Un réseau C du paraboloide de révolution se projette sur le plan directeur parallèlement à un réseau isothermique.

)) De même :

» La perspective d'un réseau C du paraboloïde, faite du foyer sur une sphère ayant son centre au foyer, est la représentation sphérique dune surface isothermique.

» 1° Ceux pour lesquels

a, or,-)- a,Xi-\- «3X3-!- fljj;^-}- ixprenons, en particulier,

Lespoinis Q(^' v' ^j et Q'(^) '^> ^j décrivent des réseaux applicables

qui sont C et 2O. Les deux congruences O conjuguées au réseau Q sont celle formée par la normale au réseau M, et une autre qui donne la nouvelle classe de surfaces isothermiques trouvée par M. Thybaut [Sur la déformation du paraboloïde (^Annales de l'École Normale, 1897)].

» Les réseaux Q et M se coupent suivant une droite G. Cette droite G décrit une congruence C,30. On démontre facilement que cette congruence C est parallèle aux réseaux C, qui sont applicables sur le paraboloïde qui a un plan directeur isotrope.

» Une théorie analogue, appliquée aux surfaces à courbure totale constante, montrera que la déformation des quadriques de révolution à centre et la déformation de la sphère sont deux problèmes équivalents. »

ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur les systèmes d' équations différentielles auxquels satisfont les fonctions quadruplemenl périodiques de seconde espèce. Note de INL BIartix Kracse, présentée par M. E. Picard.

il Dans une précédente Noie (12 avril 1898), on a posé des systèmes d'équalions différentielles auxquels satisfait la fonction

( i49o ) » Les grandeurs a, et a, y étaient des constantes arbitraires. Supposons qu'il y ait entre elles une relation et cela

)) Alors se simplifient les équations différentielles auxquelles satisfait la fonction cp,.

» Nous choisissons les deux suivantes

OÙ M est une fonction hyperellipfique. Introduisons, au lieu de 9,, une fonction <^|, liée avec elle par l'équation

nous aurons, pour ff,, les deux simples équations différentielles

(6) ^=-'i\(c-i-2/cy; + 2yl),

(7) ' /^-vÇ^ + HJ^! Ç^ - f ^ ?^ -^ *-(^, + -.j:)-

» IjCS valeurs de c, c,, c-, seront déterminées, si l'on pose, pour c, et c^, (les valeurs constantes.

» Ces équations différentielles ont les propriétés suivantes :

» I. Les coefficients du côté gauche sont indépendants de a, et de o...

» IL Les équations ne se changent pas, si l'on pose, au lieu de a, et 11., respectivement — m, et — «o.

» III. Si l'on introduit, d'après Rosenhain, deux nouvelles variables :;, et z.>, liées avec «, et u.^ par les équations

la fonction «f, se divise en deux facteurs dont l'un ne dépend que de -,, l'autre ne dépend que de ^2.

» En effet, posons, pour les grandeurs «, et a..,

(9) Wr\ = k\uJt', ...;

( ''jy )

la condition (2) peut être remplacée par la condition Alors la fonction

se divise en deux facteurs dudil genre, et cela devient

En outre, entre les grandeurs u,, u.^ et z,, z.^ existent les équations différentielles

2du,=

dz, dz.

où l'on a posé

» Nous avions déjà trouvé l'équation

(jlogf, du. ~ ou aussi

Jlog'l», I (JloirF dtii 2 dui

«^log*, I (JlogF

du, 2 d;/»

» De là s'ensuit

ou aussi

où l'on a posé

^'-*) ) /ri^ r ...

» Et là est la preuve du théorème III.

du. •

<;iog

I <?lo!ïF

da.

SJl

I (JlogF

» IV. Regardé comme fonction de ::, et de z.^, i\ satisfait auK deux, équations différentielles

(.5) RC-^S + iï^ï^og-^^H,

où l'on a posé

M Ces équations sont des cas spéciaux de celles qui sont intégrées par M. Fuchs, au moyen des intégrales hyperelliptiques, dans son travail publié dans les Nachrichten von (1er k. Gesdlschaft (1er Wissenschaflen zu Gôttingen, 1878.

» Dans le cas général des fonctions hyperelliptiques de premier ordre, il n'y a pas de difficulté de représenter d'une manière analogue les intégrales par les fonctions thêta. »

MÉCANIQUE. — Sur la détermination des courbes terminales des spiraux. Note de MM. Cu.-Éo. Guillausie et J. Pettavel, présentée par -M. A. Cornu.

« Dans son célèbre Mémoire Sur le spiral ré glant ( ' ), Phillips a démontré qu'un balancier bien équilibré, actionné par un spiral cylindrique d'un nombre suffisant de spires, effectue des oscillations isochrones lorsque le spiral est centré sur l'axe du balancier, et qu'il est terminé par des courbes symétriques assujetties aux deux conditions suivantes :

» 1° Le centre de gravité de chacune de ces courbes doit être situé sur le rayon perpendiculaire à celui qui passe par l'origine de la courbe;

M ■!" Il doit être à une distance du centre exprimée par y, p^ étant le

rayon du spiral au repos, / la longueur de la courbe terminale, entre le point où elle quitte les spires et son encastrement à la virole ou au piton. » Les courbes satisfaisant à ces conditions sont évidemment en nombre infini, et l'on s'arrête, en pratique, à celles qui, pour des raisons de construction, conviennent le mieux au type de chronomètre que l'on se propose de régler. Les courbes de Phillips, déterminées jusqu'ici par les régleurs, l'ont été presque exclusivement par un procédé graphique, con-

(') Annales des Mines, t. Xl\, 1861.

( 1493 ) sistant à faire des retouches successives à une première courbe tracée de sentiment et en calculant les moments statiques d'une série de tronçons de la courbe par rapport à deux axes rectangulaires.

» Il nous a semblé que ce procédé, long et fastidieux, pouvait être avantageusement remplacé par une méthode mécanique, consistant à matérialiser la courbe par un fil de métal, et à ramener son centre de gravité à l'endroit voulu, en vérifiant, par une pesée, la position de ce centre après chaque retouche.

» Pour réaliser cette idée, nous avons construit l'appareil suivant : » Sur un socle en fonte repose un disque évidé, portant en son milieu une pointe fine sur laquelle il peut pivoter. Ce disque, muni des organes nécessaires pour établir son équilibre, porte, en outre, deux pinces A, B

destinées à maintenir le fil à ses extrémités. Le socle renferme une tige d'acier, glissant verticalement dans une douille, et portant, à sa partie supérieure, une cuvette trempée et polie. Cette tige peut être élevée ou abaissée à l'aide de la manette M, de manière à laisser reposer le disque par son pourtour, ou à le faire pivoter sur sa pointe. Deux échelles, placées à angle droit sur le socle, en regard de deux pointes portées par le disque, permettent de mesurer son inclinaison.

» Sur un ravon perpendiculaire à celui qui contient le bord de la pince extérieure, le disque porte une coulisse dans laquelle on peut introduire un poids P dont la position est indiquée par une échelle.

') lia détermination d'une courbe de Phillips à l'aide de cet appareil se lait de la manière suivante : les pinces étant placées aux deux points que doivent occuper les extrémités de la courbe, on établit l'équilibre du

( '494 ) disque seul à l'aide des contrepoids C,C. On pèse la courbe et l'on mesure sa longueur, puis on introduit dans la coulisse le poids P destiné à lui faire équililire. Ce poids peut être le même pour des courbes diverses, à la seule condition que son moment statique par rapport au centre soit égal au produit du poids de la courbe par la distance donnée par la formule de Phillips. On met alors en place les deux bouts de la courbe, on détermine le défaut d'équilibre en soulevant le disque sur sa pointe, puis on procède, en mettant chaque fois le disque au repos, à des retouches successives, à l'aide de deux pinces appropriées, jusqu'à ce que l'équilibre soit obtenu.

» Le disque de notre appareil a un diamètre de 20''™. Nous avons trouvé qu'un fd de 1°"" à 2"" de diamètre en alliage fusible, employé dans les circuits électriques, donne de bons résultats, au double point de vue de la sensibilité et de la facilité des retouches.

» Une courbe ayant été obtenue, il suffit d'en faire un calque et de la réduire ensuite.

)i Notre appareil permet de réaliser, en quelques minutes, une courbe d'un type nouveau (' ). «

PHYSIQUE. — Méthode nouvelle pour déterminer l'équivalent mécanique de la chaleur. Note de MM. J.-B. Baille et C. Fkry, présentée par M. Cornu.

« Lorsqu'une masse métallique est placée dans un champ magnétique tournant, dû à la superposition de deux ou plusieurs courants alternatifs convenablement décalés, elle tend à prendre une vitesse de rotation égale à celle du champ.

)) L'industrie tire parti de ce fait, et l'on construit sur ce principe des moteurs pouvant produire un travail considérable. Nous avons pensé qu'il serait possible d'emplover ces champs tournants pour déterminer, dans des conditions particulièrement simples, l'équivalent mécanique de la chaleur.

» Si, en effet, la masse métallique soumise au champ est immobilisée, ellp est sollicitée par un couple, et, comme le travail produit est nul, réchauffement est rapide : les déterminations simultanées de la quantité de chaleur ainsi produite et du travail absorbé, connu par le moment du couple et la vitesse de rotation, donnent en effet le rapport cherché.

» Les mesures peuvent se faire avec une grande précision, car toutes les

(') Cel appareil a été construit, avec la collaboration de l'un tle nous, à l'I'^cole dilorlogerie et de Mécanique de Fleurier (Suisse).

( '495 ) |)arlies de l'appareil sont immobiles, et les corrections de refroidissement s'effectuent avec autant d'exactitude que dans les déterminations calorimétriques ordinaires.

» L'appareil que nous avons construit pour réaliser ces conditions se compose essentiellement d'un cylindre de cuivre rouge fixé à l'extrémité d'une balance amortie.

» Ce cylindre foré reçoit un thermomètre de précision qui donne à chaque instant sa température; on l'a disposé dans l'axe d'un anneau recevant les courants biphasés d'une petite machine Gramme alternative. Une double enveloppe en ébonite, parcourue par un courant d'eau à température constante, évite le rayonnement de l'anneau sur le cylindre de cuivre.

» La balance, étant en équilibre, est immédiatement déviée dès qu'on lance le courant dans l'anneau; le poids nécessaire pour ramener le système au zéro permet de calculer le couple. D'autre part, la vitesse du champ est mesurée par celle de la machine génératrice qui porte un compteur de tours fixé à demeure; le travail est donc connu très exactement (').

M Pour évaluer la quantité de chaleur correspondante, nous avons déterminé l'élévation de température pendant un temps assez court pour que le rayonnement soit constant dans cet intervalle. On note ensuite le temps mis par le cylindre pour se refroidir de la quantité dont il s'est échauffé, ce dont on tire la correction de refroidissement.

» Voici, à titre d'exemple, l'une des séries obtenues avec notre appareil dont le cylindre réduit en eau vaut SS^'', 5 :

Moment Élévalioii Correction

du de de Élévation

Temps. couple. température. refroidissement. vraie. E.

!) La vitesse de la machine était de liSg tours par minute, et le bras de levier / de la balance de 22'^"', 5.

)> On peut, au premier abord, être étonné de la valeur élevée de la correction de refroidissement; cette correction est, en effet, déterminée par la différence de température entre l'enceinte extérieure et le corps calorimétrique. Elle augmente donc continuellement jusqu'au moment de

(') La machine étant à quatre pôles, la vitesse du champ est double de celle indiquée par le compteur.

G. R., isgS. 1" Semestre. (T. CXXVI, N« 21.) ^9^

( '496 ) l'équilibre thermométrique, où elle deviendrait le seul facteur à déterminer. En conduisant l'expérience jusque-là, on réaliserait la méthode des températures stationnaires, bien connue en Physique.

» Il n'y a donc pas lieu de se préoccuper de la valeur relative, mais bien de la précision avec laquelle on obtient cette correction de refroidissement.

» On peut remarquer que le couple et l'élévation de température vont en diminuant régulièrement; ceci peut s'expliquer par l'accroissement de la résistance électrique du cuivre qui a passé, dans cette expérience, de 10°, 86 à 27°, 42.

» Les quelques nombres que nous venons de donner n'ont d'autre but que de montrer la grandeur des quantités mises en jeu ; nous nous proposons de reprendre ces expériences avec un appareil mieux disposé, où les causes d'erreur que nous avons observées dans cet appareil d'essai soient réduites autant que possible.

» Parmi ces causes d'erreur, une des plus importantes semble être le maintien de l'immobilité du corps calorimétrique, par rapport à son enceinte, pendant toute la durée de l'expérience; si les précautions prises à cet effet ne sont pas rigoureuses, la correction de refroidissement est rapidement erronée.

» Les champs tournants se prêtent aussi à la détermination de plusieurs autres constantes physiques pour la mesure desquelles on est amené à réaliser un déplacement rapide entre des circuits fermés et un champ magnétique. »

PH"ïSIQUE. — Sur quelques expériences de Télégraphie acoustique sous-manne, à l'aide d'un microphone à pivots. Mémoire de INL E. Hardy, présenté par M. A. Cornu. (Extrait par l'auteur. )

« On sait que les A'ibrations sonores se transmettent dans l'eau à de grandes distances; mais, comme l'amplitude de ces vibrations est faible, pour percevoir de très loin les bruits sous-marins il est nécessaire d'employer des appareils très sensibles aux vibrations sonores tout en étant résistants aux perturbations extérieures.

» Des expériences faites à Cherbourg, par ordre de M. le Ministre de la Marine, ont montré la grande supériorité des microphones à pivots pour ce genre d'observations et fait voir une application si humanitaire de la Télégraphie acoustique sous-marine, que M. le Ministre de la Marine en a autorisé l'emploi.

( '497 ) » Le microphone à pivots se compose d'un pelit disque de charbon fixé au centre de la |)laque vibrante. Des éléments à pivots sont installés autour de ce disque. Chaque élément à pivots se compose d'une pièce mobile avec contrepoids pour régler la pression des charbons. Une petite quantité de mercure entoure chaque pivot et assure le passage du courant électrique dans la pièce mobile sans gêner en rien sa mobilité. »

PHYSIQUE. — Sur l'osmose des liquides à travers une membrane de caoutchouc vulcanisé ( ' ). Note de M. G. Flusin, présentée par M. Friedel.

(( Au cours de ses recherches sur l'osmose, M. Raoult (-) a trouvé que, si l'on sépare par une membrane de caoutchouc vulcanisé de l'éther et de l'alcool méthylique, il se produit un passage de l'éther vers l'alcool; sur ses bienveillants conseils, j'ai entrepris d'étudier l'osmose de différents autres liquides à travers le caoutchouc. J'ai l'honneur de soumettre à l'Académie les premiers résultats obtenus.

» J'ai employé du caoutchouc vulcanisé de i""" d'épaisseur. Sa densité à 17° est 0,997 ! •' laisse 2 pour 100 de cendres et il renferme 1 2,54 pour 100 de soufre total, dont 1,28 seulement de soufre combiné. Plongé dans les liquides indiqués ci-après, ce caoutchouc se gonfle, devient translucide, mais conserve sa cohésion.

» J'ai reconnu d'abord que, si l'on s'en sert comme diaphragme, en mettant une face en contact avec de l'eau et l'autre avec de l'alcool méthylique, de l'alcool élhylique ou de l'acide acétique, on n'observe pas de mouvement osmotique; l'examen de l'eau montre de plus que les corps précédents ne traversent pas sensiblement la membrane en douze heures. Au contraire, si l'on dispose d'un côté de l'alcool éthylique et de l'autre de la benzine, du chloroforme, de l'essence de pétrole, etc., ces liquides passent plus ou moins rapidement vers l'alcool.

» La mesure de la pression osmotique limite (si tant est qu'il y en ait une) m'ayant présenté, comme à M. Raoult, des difficultés que je n'ai pu surmonter, je me suis borné à mesurer la vitesse du courant osmotique, la pression restant constante de chaque côté du diaphragme.

(') Travail fait au laboratoire de Cliimie de la Faculté des Sciences de l'Université de Grenoble.

(-) Comptes rendus, t. CXXl, p. 187. Zeilsch, fur phys. Chem.. 4, t. XVll, p. 737; 1890.

» Dans ce but, je me suis servi de l'osmomètrè de M. Raoult. La cloison de caoulchouc est serrée entre deux disques de tôle perforée qui s'opposent à sa déformation. Un des compartiments de l'osmomèlre est rempli avec le liquide en expérience et l'autre avec de l'alcool èihylique. Ces deux compartiments communiquent avec deux tubes de verre divisés, de 2°"", 6 de diamètre intérieur, disposés parallèlement dans le même plan horizontal, de sorte que les mouvements des colonnes liquides s'y effectuent sans que la pression varie. On amène les ménisques au milieu des tubes et l'on plonge l'appareil dans un bain d'eau maintenu à 12" C. ; les lectures sont faites à intervalles déterminés. Au bout de quinze à quarante minutes, suivant la nature des liquides, la marche des ménisques prend un régime régulier qui permet de calculer la vitesse d'osmose relative à l'alcool éthylique.

» Les résultats obtenus sont rapportés dans le Tableau suivant, où c désigne la vitesse des ménisques en millimètres par minute etV la hauteur du liquide, en millimètres, qui serait soulevée par l'osmose au-dessus du diaphragme dans le même temps :

Substances séparées de l'alcool par le caoutchouc. v. Vxioooo.