C. R., 1898, I" Semestre. (T. CXXVI, N
annulaire prend, sous l'action du courant, une position d'équilibre dans laquelle ses spires sont parallèles à celles de la bobine fixe.
» Si on l'écarté un peu de cet azimut d'équilibre, elle exécute des oscillations isochrones. Soient T la période de ces oscillations et i l'intensité du courant. La période T est inversement proportionnelle à la racine carrée du moment du couple exercé par la bobine fixe sur la bobine mobile pour un écart déterminé de cette dernière. Or, ce moment est proportionnel à r, et, par conséquent, T est en raison inverse de i; en d'autres termes, le produit «T est une quantité constante, dépendant seulement de la construction des deux bobines. Maintenant, le produit i T n'est autre chose que la quantité d'électricité qui traverse une section quelconque du fil pendant la durée d'une oscillation, et l'on a par suite la proposition suivante : quelles que soient l' intensité du courant et la période de l'oscillation, la quantité d'électricité qui traverse une section du circuit pendant qu'une oscillation s'accomplit est toujours la même.
)) La valeur en unités absolues électromagnétiques de la constante jT se détermine aisément comme il suit. Soit « le nombre des tours de fil sur la bobine fixe par centimètre de longueur de cette bobine, soit S la surface totale limitée par les sphères de la bobine annulaire, soit K le moment d'inertie de l'équipage mobile. L'intensité du champ, sensiblement uniforme, qui occupe la région centrale de la bobine fixe, dont la longueur est très grande, est 4~^«; d'autre part, la bobine annulaire parcourue par le courant i équivaut à un aimant de moment Si; par suite, le couple auquel est soumise la bobine annulaire, lorsqu'elle est intîniment peu écartée de sa position d'équilibre, est égal au produit de l'angle d'écart par l\-niy< Si. On a donc, d'après les lois connues du mouvement oscillatoire,
rr. / tV 1 f 1 1 7 Trx / iV TT
1 = 2- i/ 7 : — ::^..i cl ou 1 on tu'e i \. ^ i/ —^^
nous désignerons cette constante de l'appareil par lu lettre q.
» On voit que, à l'aide de l'appareil précédent, on peut déterminer en valeur absolue électromagnétique la quantité d'électricité débitée par un courant pendant un temps quelconque, sans que l'on ait à mesurer séparément, comme on le fait habituellement : le temps, d'une part, et l'intensité du courant, d'autre part. On pourrait, en particulier, appliquer cette méthode à la détermination directe des équivalents éleclrochimiques, et aussi à la mesure du nombre Y.
» Pour faire de l'appareil un compteur d'électricité applicable aux besoins de l'industrie, il suffit d'adjoindre aux deux bobines un dispositif destiné à entretenir et à compter automatiquement les oscillations : chacune d'elles accuse, en effet, le passage d'une quantité d'électricité égale à q, quelle qu'ait été l'intensité du courant au moment où elle s'est effectuée, et, par conséquent, pour obtenir la quantité totale d'électricité qui a traversé la section du circuit pendant un certain laps de temps, on n'a qu'à multiplier q par le nombre des oscillations effectuées pendant ce laps de temps. Ceci n'est, il est vrai, exact en toute rigueur que si les variations dans l'intensité du courant ont lieu exclusivement à des instants où la bobine annulaire passe par la position d'équdibre; toutefois, dans la pratique et, en particulier, dans l'application à l'éclairage électrique, l'erreur qui provient de ce que cette coïncidence n'a pas lieu, en général, est absolument négligeable.
n Voici la disposition que j'emploie pour entretenir et compter automatiquement les oscillations.
)) Dans mon appareil, le mouvement oscillatoire de la bobine annulaire a lieu d'un côté seulement de son azimut d'équilibre.
)) La figure ci-jointe représente les organes essentiels du compteur, vus par-dessus. Un bras horizontal CC/ est fixé à une tige verticale, solidaire
elle-même de la bobine annulaire AA' dont elle forme l'axe de rotation. Lorsque la bobine annulaire a été écartée de son azimut d'équilibre, l'action électrodynamique l'y ramène; mais, au moment où elle l'atteint, le bras ce vient buter contre un ressort RR', formé d'une lame métallique plane. L'une des extrémités, R, de ce ressort est fixée invariablement; l'autre extrémité R' est maintenue appliquée contre un obstacle fixe E par l'armature D d'un électro-aimant^ F qui infléchit légèrement la lame, pen-
dant tout le temps que cet électro-aimant n'est pas en activité. Les choses sont disposées de façon que le bras CC, en touchant le ressort RR', ferme le circuit de l'électro-aimant : aussitôt, le ressort, rendu libre, donne au bras
Fig. 2.
iP
Szo
Ampères
une impulsion quasi instantanée qui l'écarté de nouveau, et ainsi de suite. Un cliquet mii par l'armature de l'électro-aimant fait, à chacune des demioscillations de la bobine, avancer d'une dent la première roue d'un compteur de tours.
( ••JgS )
» On voit que le mouvement oscillatoire de la bobine annulaire est indépendant de la résistance passive du compteur de tours, puisque c'est l'électro-aimant qui fait mouvoir ce dernier. La grandeur de l'impulsion donnée par le ressort à l'équipage mobile est sans influence sur la durée de l'oscillation, à condition que l'écart reste petit.
» Plusieurs modèles de cet appareil ont été exécutés au Laboratoire de Physique de la Faculté des Sciences de Nancy; le type industriel a été établi par la maison E. Ducretet. Dans ce dernier, on a raccourci la bobine fixe, afin de diminuer la résistance; le calcul de la constante tT en partant des données qui définissent la construction de l'appareil est alors plus compliqué, mais on obtient aisément la valeur en coulombs de cette constante en faisant circuler dans le compteur un nombre connu d'ampères et déterminant la durée correspondante de l'oscillation.
» De nombreux essais ont montré que le produit iT, ou, ce qui revient au même, le rapport de l'intensité i au nombre d'oscillations effectuées dans un temps donné, est bien indépendant de i, jusqu'à la plus grande intensité que le fil des appareils actuels puisse supporter, c'est-à-dire environ 1 1 ampères. Dans le diagramme ci-joint (Jig. 2), on a porté en abscisses les intensités du courant mesurées en ampères, et en ordonnées les nombres correspondants d'oscillations effectuées en vingt secondes; les intensités étaient mesurées, au-dessous d'un ampère, à l'aide d'une balance de Lord Kelvin et, au-dessus, à l'aide d'un ampèremètre optique très précis, étalonné à l'aide de la balance même. Les points du diagramme sont sensiblement sur une ligne droite passant par l'origine, comme la proportionnalité indiquée par la théorie l'exige; c'est seulement au-dessous de o^™P,5 que le produit iT commence à devenir un peu trop fort, ce qui tient à ce que l'amplitude des oscillations est alors trop grande pour que l'isochronisme subsiste rigoureusement. L'inexactitude est toutefois minime, et absolument négligeable dans les applications.
» L'appareil obéit instantanément aux variations les plus brusques de l'intensité du courant; il s'applique aussi bien aux courants alternatifs qu'aux courants continus. Le démarrage a lieu sans exception, même pour des courants inférieurs à o^"i',i, grâce à un dispositif dont la description ne peut trouver place ici {' ). »
( ' j Le principe et la descrii)tion complète du compteur qui fait l'objet de la présente IVote ont été donnés par moi à roccasion de la prise d'un brevet, dès le i3 mars 1897. Toutefois, j'ai cru devoir attendre, pour en entretenir TAcadémie, que le modèle industriel fût définitivement établi.
NOMINATIONS
L'Académie procède, par la voie du scrutin, à la nomination d'une Commission de sept membres qui sera chargée de présenter des candidats au prix Leconte, Les quatre membres du Bureau seront adjoints à cette Corn mission.
MM. Bouchard, Duclaux, Marey, Milne-Edwards, Darboux, Moissan et Mascart réunissent la majorité de's suffrages.
En conséquence, la Commission se composera de MM. Wolf, Van Tie- GIIE3I, Bertrand, Berthelot, Bouchard, Duclaux, Marey, Milne-Edwards, Darroux, Moissan et Mascart.
L'Académie procède, par la voie du scrutin, à la formation d'une liste de deux candidats à présenter à M. le Ministre de l'Instruction publique, pour une place devenue vacante au Bureau des Longitudes par suite de la nomination de M. le colonel Bassot à la place de géographe.
Au premier tour de scrutin, destiné à la désignation du premier candidat, le nombre des votants étant l\S,
M. Lippmann obtient l\i suffrages
M. Appell .. 3
Au second tour de scrutin, destiné à la désignation du second candidat, le nombre des votants étant 39,
M. Appel! obtient 89 suffrages
En conséquence, la liste présentée par l'Académie à M. le Ministre de l'Instruction publique comprendra :
En première ligne M. Lippmann,
En seconde ligne M. Appell.
CORRESPONDANCE
M. le Secrétaire perpétuel signale, parmi les pièces imprimées de la Correspondance :
Un Ouvrage en quatre Volumes de M. Charles iléray, ayant pour titre : « Leçons nouvelles sur l'Analyse infinitésimale elses applications géométriques ». (Présenté par M. Darhoux.)
ANALYSE MAïaÉMATiQUE. — Sur les équations différentielles du second ordre à points critiques fixes. Note de 31. Paul Painlevê, présentée par M. Picard.
« Considérons une équation du second ordre
où R est rationnel en v , algébrique en v, analvtique en x.
» Dans une Note antérieure, j'ai montré que les équations de cette forme à points critiques fixes forment six classes distinctes, et j'ai déterminé explicitement toutes les équations des quatre dernières classes. Je me propose de déterminer, dans cette Note, toutes les équations de la première classe, c'est-à-dire toutes les équations, à points critiques fixes, de la forme
» Quand l'équation (i) a ses points critiques fixes, a priori son intégrale peut présenter des pôles mobiles et des points essentiels mobiles (isolés ou non). J'établis d'abord (ce qui n'est nullement évident) que, si les points critiques de (i) sont fixes, il existe sûrement des pôles mobiles.
» Pour faire celte démonstration, j'observe d'abord que la transformation
(2) V = A(a;)Y -f- [J-ix), x = o(X)
conserve la forme de l'équation ( i).
)i Je montre ensuite que si l'équation (ij a ses points critiques fixes, il en est de même a fortiori de l'équation
-, d-v /■ \ dy . / V T
où x„ est une constaate numérique quelconque. Cette dernière équation s'intègre aisément. Si elle a ses points critiques fixes, on voit sans peine qu'une transformation (2) convenable donne aux deux fonctions a, A une des expressions suivantes :
(II) a(x) = -2, A(aj)ï^ o,
(III) a(x)= o, A{x)= o,
(IV) a(x)~-i, A(.t) = -i,
(V) a(cc)s^ o, A(a;)= 2.
» De plus, il est loisible de supposer b^^^o.
» Ces premières conditions remplies, je montre que l'équation (1) a sûrement des points critiques mobiles, à moins quelle ne possède des pôles mobiles, pôles qui, dans les cas (IV) et (V), doivent correspondre à deux développements distincts.
M Si l'on exprime qu'il en est ainsi (' ), on trouve que, moyennant une transformation (2), les équations (1) considérées sont réductibles à une des formes
(I) f'=-3yy-r^C(x)y + -D(x),
(II) y = — 2Yy -+- D(.x-),
(III) r"=o ou y=r-+aa;- + p, (7., ^ const. numériques).
(IV) j"r= — vr'+ v5-i-2C(ic)j— 2C'(-î")' ^^^^ C"-h ~- +cuv + ^ — o,
(V) /'= 2v' + (aa? + p) y 4- y, (a, fi, y const. numériques), » L'équation (II) s'intègre immédiatement; l'équation (I) se ramène à
une équation linéaire en posant y — -j- Enfin, l'équation (IV) se ramène
au type (IH) =' = z- -\- «.x + {!> par le changement de varudjles
z=v-hY- y= — --7^-
2 ■ : + Cl
» Nous n'avons donc plus à étudier que les types (III) et (V) qui sont
(') M. Picard {Acta rnathernatica, 1898) a indiqué succinctement le moyen de former ces conditions. Dans le cas où x ne figure pas dans (i), M. Millag-Leffler {Acta malhematica, 1894) les a formées explicitement et a montré que, si elles sont remplies, l'éciualion (i) s'intègre et a son intégrale méromorphe.
( 1^99 ) réductibles aux suivants :
y" = 2 v^ v" = 2>-' 4- I , y" = 2 y' -i- y -f- y, y' = 2y' -f- xy -+- y.
» Les seuls types non inlégrables sont les tvpes (E) y"=: 6 y- -+- .r, -k
(E, ) y" = 2 y' -I- œy -+- y, (y consf. numérique),
qu'on peut réunir dans le tvpe unique (e) 1' = xy' -f- y- + 3aa-y-|-a-, (xconst. numérique).
» Ces dernières équations (e) ont elles vraiment leurs points critiques fixes7 C'est là le point le plus délicat de la méthode. J'indiquerai seulement le principe du raisonnement pour l'équation (E).
)> Si l'on pose -^^—^ ly'^ — xy, u = ^ — , les fonctions z(œ) et
u(^x) vérifient le système différentiel i d~-
1^-^ = 2 — 3u:- -i- u-z- — v'4(i — uzy — 2z'[z. -+-x{uz — I )J,
dont les coefficients différentiels ont une branche holomorphe pour.r = j;o, z=o, u^u„. Soit x=:a une valeur de .r où une intégrale y(j:) de (E) cesse d'être holomorphe. Si je montre que, dans le voisinage de a: = a, il existe des valeurs x,, de x pour lesquelles z(x) est très petit, uÇx) et u'(x') finis, il est clair que :-(x) sera holomorphe pour .r = a, et, par suite, y(x) méromorphe. J'effectue cette démonstration en introduisant la transformation x = a-h:X, y = —,j et en étudiant, dans une première approximation,
le système différentiel correspondant 33 = 0.
» L'intégrale de l équation (E) est donc méromorp/ie dans tout le plan. J'établis de plus qu'elle est irréductible, c'est-à-dire qu'elle renferme l'une et l'autre des deux constantes d'une façon transcendante, de quelque façon qu'on les choisisse.
» Les mêmes résultats et méthodes s'appliquent à l'équation (E).
» J'ai donc bien obtenu explicitement toutes les équations (i") à points critiques fixes. Parmi ces équations, les seules qui ne soient pas réductibles aux équations connues, sont réductibles algébriquement aux types (E), (E, ) ou (^si
