C. K., 1S98, 1" Semestre. (T. CXXVI, N
l'on veut) au type unique (e). L'intégrale des équations (E), (E,) est une fonction méromorpiie dans tout le plan, irréductible aux transcendantes uniformes engendrées par les équations linéaires, les fonctions ahéliennes, etc. et par leurs combinaisons.
» Si l'on pose pour (E)
z =■ iY — xy et s ^ — -,
n ■ ■' Il
pour(E|)
':=>'■'- Y — ocY' — 'lyv et z ^ --, - - I ./ „
la fonction u(.x) est une fonction entière qui vérifie une équation, très simple du troisième ordre, etl'on apour(E), y:=(\ogii)", et pour E,, — r- = (log«)". )) Il ne me reste plus qu'à indiquer les équations à points critiques fixes de la deuxième classe. C'est ce que je ferai très prochainement. »
ANALYSE MATHÉMATIQUE. — Sur le problème de l'intégration au point de vue des variables réelles. Note de M. R. Baire, présentée par M. E. Picard.
« I. Lorsqu'on se sert de la théorie du changement de variables dans une question d'Analyse, on suppose implicitement la continuité des dérivées qu'on emploie. Pour prendre un exemple très simple, soit une fonction f{.v,Y}; faisons le changement de variables
les foi-mules connues
ne sont valables que si l'on suppose -j- et -j- continues. Si l'on suppose
seulement l'existence de ces dérivées en chaque point, il peut arriver que les formules ne s'appliquent pas; c'est ce qui a lieu, par exemple, à l'origine, pour la fonction qui est égale à zéro au point a; = o, r=:o, et
"^ = aux autres points.
iî-
.vH
» II. Cette remarque étant faite, considérons une équation aux dérivées
( i-oi ) partielles, et posons le problème de l'intégration de la manière suivante : Rechercher toutes les fonctions de variables réelles, assujetties seulement aux conditions strictement indispensables pour que les éléments qui entrent dans V équation aient un sens déterminé et vérifient celte équation. » En prenant comme exemple l'équation très simple
^" + '^ = .) dx Oy
il faudra déterminer toutes les fonctions de x et v, qui, en chaque point, sont continues par rapport à chacune des variables et possèdent des dé-
dx ay
)) Le problème étant ainsi posé, le raisonnement qui consiste à prendre comme nouvelle variable X = a* — y et à constater que la fonction ne dépend que de X est insuffisant, puisqu'il suppose la continuité des dérivées.
» III. Pour essaver de traiter la question avec le minimum d'hypothèses possible, il convient tout d'abonl de faire une élude des conséquences qu'entraîne, pour une fonction de deux variables, l'hypothèse de l'existence de dérivées partielles eu chaque point. Je me propose d indiquer ici les résultats que j'ai obtenus dans cet ordre d'idées.
» Si, en tout point, la fonction possi^de des dérivées -y~ et -—■< il y a, dans
toute aire, des points en chacun desquels ces dérivées sont continues par rapport à l'ensemble (^x,y); soit \\^x^,y^~\ un de ces points, que nous appellerons points réguliers; à tout nombre positif i on peut faire correspondre un cercle de centre A, tel que. M, el Mo étant deux points quelconques pris dans ce cercle, on a
!/(M,)-/(M,) \ô/ ,^^ ,, . df
j longueur M, M, {^dx
(•2'o.J'o)cosx-T- ^(j'o,r„)sinxJ j<î.
X étant l'angle de la direction M, Mo avec Ox.
» Plus généralement, prenons, dans le plan, un ensemble parfait E (qui pourra être, soit une aire, soit une courbe, soit un ensemble non dense par rapport à toute courbe continue).
» Au voisinage de tout point de E existent des points de E que f appellerai réguliers par rapport à E; si A[a:„,j'„] est un de ces points, l'inégalité précédente a lieu dans un cercle de rayon suffisamment petit, si l'on prend pour M, et 3I2 deux points de l'ensemble E.
>> On peut exprimer ces résultats de la manière suivante : Si l'on a un
( i7°2 ) ensemble parfait E, d'ailleurs quelconque, il y a toujours dans cet ensemble des points dans le domaine desquels la théorie du changement de variables peut s'appliquer, pourvu qu'on ne considère que les points de l'ensemble E.
» IV. Assujettissons mainleiiaiit notre fonclion à vérifier l'équation
-r- .-)- ^ = o, et considérons les valeurs qu'elle prend sur la droite
X — r= const. On a ainsi une fonction d'une variable <p(/); en interprétant les résultats du paragraphe précédent, on reconnaît que cette fonction a les propriétés suivantes :
» E étant un ensemble parfait de points (qui peut être le continu, ou un ensemble non dense), // )' a, au voisinage de tout point de E, des points de E, qu'on peut appeler stationnaires par rapport à E : 5« A[/„] est un de ces points, à tout nombre positif e correspond un nombre a, tel que M, et IVL clant deux points de Epris dans l'intervalle (/„ — x, /„ + %), on a [/(M,)-/(M.)|
» Par analogie avec la notion de fonction ponctuellement discontinue, je dirai que la fonction ^(z) est ponctuellement variable, relativement à tout ensemble parfait.
» J'énonce le théorème suivant :
» Une fonclion d'une variable, qui est continue, et qui est ponctuellement variable relativement à tout ensemble parfait, est constante.
» Ce qui me semble donner de l'intérêt à ce théorème, c'est qu'il existe des fonctions continues, non constantes, et telles que dans tout intervalle il en existe un autre où elles sont constantes; autrement dit, une fonction peut être continue, et être ponctuellement variable relativement au continu, sans être constante.
» Le théorème qui précède permet d'intégrer l'équation aux dérivées partielles, dans le cas où l'on suppose, outre les conditions indispensables, la continuité de la fonction par rapporta l'ensemble {xy); on voit, en effet, que la fonction doit être alors constante sur chaque droite x ~ y = const.
» V. Ce que nous venons de dire relativement à l'équation -4- -\- -4- =^ o
^ ^ ax ay
peut s'étendre à toute équation de la forme
dans toute aire où, en chaque point, passe une courbe caractcnslique déterminée.
( i7o3 ) » Si la fonction doit être continue par rapport à l'ensemble (xy), elle doit être constante sur les caractéristiques, /« chose étant démontrée indépendamment de toute hypothèse sur les dérivées autr-e que celle de leur existence. »
PHYSIQUE. — Sur le mélange des gaz.
Note de M. Damel Berthelot, présentée par M. H. Becquerel.
« Dalton a énoncé la loi suivante :
» I. La pression d'un mélange de gaz est égale à la somme des pressions que prendrait chacun d'eux s'il occupait seul le volume total.
» Mais les physiciens qui ont étudié avec précision les propriétés des gaz ont re'connu qu'un gaz ne peut pas être regardé comme possédant dans un mélange la même tension que dans le vide.
« Dans l'air atmosphérique, dit M. Amagat (Annales de Chimie et de » Physique, 5* série, t. XIX., p. 384; 1880), l'oxygène et l'azote semblent se » comprimer séparément comme s'ils étaient seuls, non pas à la pression » qu'ils ont dans le mélange, mais à celle du mélange même. »
» Dans le même ordre d'idées, M. Sarrau (Introduction à la Théorie des explosifs, p. 25; iSgS) substitue l'énoncé suivant à celui de Dalton :
» II. « Ze ro/M/«e 5/jec{y/(yHe (volume de l'unité de poids sous la pression » atmosphérique normale) d'un mélange de gaz est égal à la moyenne com- » posée des volumes spécifiques des gaz mélangés. »
» M. Leduc, qui a été amené par ses études sur les gaz à des énoncés analogues, a fait sur la question, en collaboration avec M. Sacerdote, deux séries d'expériences (Comptes rendus, 17 et 24 janvier 1898) : la première sur les densités, la seconde sur les pressions des mélanges. Ces deux séries indépendantes conduisent aux mêmes conclusions : l'énoncé I est toujours en défaut; l'énoncé H se vérifie exactement pour le mélange des gaz anciennement dits permanents, et approximativement pour le mélange des gaz à peu près également compressibles (Az*0 et CO" par exemple), mais ne se vérifie plus pour deux gaz quelconques (CO- et 80").
» L'énoncé II n'est donc pas général. Je me propose de montrer que le problème peut être résolu par l'application des principes qui m'ont déjà servi à la détermination exacte des poids moléculaires des gaz.
» Soient deux, gaz G et G' dont on a mesuré les volumes et les pressions. Pour trouver la pression du mélange quand on met les deux récipients en communication, ou peut raisonner de la manière suivante : On suppose les deux gaz placés dans des
récipients fermés par des pistons mobiles; on soulève ces pistons jusqu'à ce que la pression des gaz dans les récipients soit devenue infiniment faible. A ce moment on les met en communication. Les gaz étant arrivés à l'état de gaz parfaits, la pression du mélange se calcule indilTéremmenl par l'énoncé I ou l'énoncé II. La diffusion étant effectuée, on ramène les pistons à leur position primitive.
» Les variations de pression des gaz G et G' pendant la pliase de détente se calculent par la formule de Van der Waals :
(0 (y.+ ^ji..-fJ) =RT,
(2) (p + Ç]{ç-^y) = RT,
(' représentant le volume d'une molécule de gaz sous une pression de p atmosphères et à la température absolue T; a, a' les attractions spécifiques moléculaires; |3, p' les
covolumes des eaz G et G'; R une constante aui a la valeur commune — ;; pour
les divers gaz, si l'on prend pour unité de volume le volume occupé par une molécule
d'un gaz parfait à 0° et sous la pression atmosphérique normale.
» Les variations de pression du mélange pendant la compression se calculent par
la formule analogue
(/' + ^)(''-I^) = RiT.
» Reste à savoir comment, étant donné qu'un volume du mélange, mesuré à 0° et sous la pression atmosphérique normale, contient p molécules de G et ^ molécules de G', ort peut calculer les coefficients A, B, R, du mélange en fonction des coefficients a, a', p, p', R des gaz séparés. Reportons-nous à la signification physique de ces coefficients.
» Le covolume représente un multiple du volume des molécules du gaz. Lecovolume d'un mélange est donc égal à la rao\'enne composée des covolumes des constituants
» Calculons maintenant A. L'attraction réciproque de deux molécules identiques du gaz G est projiortionnelle à a; celle de deux molécules de G' à a'; par raison de symétrie nous admettrons que l'attraction d'une molécule de G sur une molécule de G' est proportionnelle à y/ax'. Ceci posé, on trouve sans difficulté
n E.nfin, siT=ro°C. ou ajS", 22 absolus
» Ces formules résolvent complètement la question. Je vais les appliquer à quelques cas particuliers. Toutes les expériences sont supposées faites à 0° C.
( no5 )
» Le Tableau suivant donne les conslanles x, a' de la formule de Van der Waals, calculées comme je l'ai indiqué dans mes Communications antérieures, pour représenter les expériences au voisinage de la pression atmosphérique, et les volumes c,,, occupés par une molécule de chaque gaz à o" et i atmosphère, le volume occupé par une molécule de gaz parfait étant égal à i :
H. Az. O. CO". Az"0. S0=.
ï 0,00075 o,ooio5 0,00109 0,00918 0,01024 0,02840
p 0,00121 0,00067 o, 00083 0,00343 0,00268 o,oo535
» 1° Mélange de deix gaz identiques. — Mettons en communication deux ballons égaux remplis d'un même gaz sous la pression atmosphérique. Il ne peut évidemment y avoir changement de pression. Les formules données plus haut conduisent, en effet, à une variation de pression identiquement nulle. L'énoncé de Dalton exigerait une augmentation de pression de o'"™,oo34 avec deux ballons remplis deCO-, deo'"°',oi2o avec deux ballons remplis de S0-.
» 2° Mélange de deux gaz per.manents. — A. Mélange atmospJtériijue. — Soient deux ballons, l'un de 79''' rempli d'azote, l'autre de 21''' rempli d'oxygène sous la pression atmosphérique. Mettons-les en communicatioft. Le calcul montre que l'augmentation de pression est o'""',ooooi. Elle est donc inférieure aux erreurs de mesure et l'on peut faire usage de l'énoncé II pour déduire des densités de l'oxygène et de l'azote atmosphérique la proportion de ces deux gaz dans l'air. C'est ce que confirme l'expérience.
» B. Mélange tonnant. — Dans le cas où l'hydrogène est un des gaz mélangés, comme il s'écarte de la loi de Mariette, en sens inverse des autres gaz, le calcul indique une augmentation de pression du même ordre, mais plus forte. Recueillons, sous la pression atmosphérique, dans deux voltamètres, les gaz provenant de l'électrolvse de l'eau, puis mélangeons-les; l'augmentation de pression sera o""",oooo4 : quantité à peine supéi-ieure aux erreurs d'expérience.
» 3° Mélange de deux gaz de compressibilité voisine. — Mettons en communication deux ballons de i'" remplis l'un de CO-, l'autre de Az^O sous la pression atmosphérique; le calcul montre que l'augmentation de pression sera o""", 00018.
» M. Sacerdote a trouvé expérimentalement o"'", 00011; la fconcordance est très satisfaisante. L'énoncé de Dalton exigerait une augmentation de o""",oo36i, c'està-dire environ trente fois aussi grande.
» 4° Mélange de deux gaz quelconques. — Voici le détail du calcul dans ce cas :
» Prenons deux ballons égaux, remplis, l'un de CO-, l'autre de SO-, sous la pression atmosphérique. D'après le Tableau précédent, i molécule de CO- occupe, sous la pression atmosphérique, ©^"',99326; et par suite, le premier ballon, dont nous pouvons supposer le volume égal à 1, contient 1™°', 00679 de GO^. Le second ballon contient i"'°',024i5 de S0-. Sous une pression infiniment faible, les volumes moléculaires des divers gaz deviennent égaux; la masse de CO^, soumise à l'expérience, prendra donc un volume proportionnel à 1,00679 et la masse de 50', un volume proportionnel à i ,024i5. Faisant usage des équations (3), (4), (5), (6), nous obtenons l'équation de compressibilité suivante, pour la masse du mélange qui, ramenée à la
pression atmosphérique, occupe i^°' :
D'où l'on tire, pour c ^= i, /> = i^'"",ooi9.
» L'augmentation de pression est donc, dans ce cas, de o'"'",ooi9. M. Sacerdote a trouvé par expérience o'>'",ooi8. La concordance est fort bonne.
» L'énoncé I conduirait à une augmentation de pression de o'""\oo77, c'est-à-dire quatre fois aussi forte; l'énoncé II, à une augmentation de pression nulle.
» La théorie développée plus haut est donc la seule qui soit dans tous les cas en accord avec l'expérience. »
OPTIQUE. — Sur Vétille des radiations du mereure et la mesure de leurs longueurs d'onde. Note de MM. Ch. Fabry et A. Perot, présentée par M. A. Cornu.
« La méthode que nous avons précédemment décrite pour la détermination des numéros d'ordre des franges d'ordre élevé exige la connaissance exacte des rapports des longueurs d'onde des radiations employées. Ces radiations sont, outre deux radiations du cadmium, celles qui correspondent à la raie verte et aux deux raies jaunes du mercure. Nous avons (U'i en faire une étude préalable et en mesurer les longueurs d'onde par comparaison avec celles des raies du cadmium.
» i° Étude par le speclroscope mterfcrentiei{^ ) des radiations du mcrcuie. — Nous avons déjà indiqué les résultats de cette étude pour la radiation verte. Les deux raies jaunes étant assez voisines dans le spectre (leur distance n'atteint pas quatre fois celle des raies D, et D,), il a fallu, pour les séparer, emplover un système dispersif plus puissant que celui qui nous avait servi dans nos recherches précédentes. Au moyen de deux prismes à sulfure de carbone de 60" on produit un spectre de la lumière émise par le tube. Une fente laisse passer seulement celle des deux radiations jaunes que 1 on veut étudier.
» La moins réfiangible des deux raies jaunes est composée d'une radiation principale et d'une plus faible, de longueur d'onde un peu plus __ y
(') Comptes rendus, t. CXXVI, p. 3^, 33 i, 407-
petite; la différence des longueurs d'onde est en valeur relative : ~ ^ — 22, 5 . lo"".
» La plus réfrangibie des raies jaunes est également double, mais la composante la plus faible est la moins réfrangibie; la distance des composantes est à peu près trois fois plus petite que pour l'autre raie:
» Les composantes de ces deux raies jaunes sont d'ailleurs très fines, quand le tube n'est pas trop chaud.
» L'existence de ces radiations secondaires complique un peu les phénomènes dans lesquels les deux raies jaunes interviennent à la fois, comme c'est le cas dans nos déterminations de numéros d'ordre. Toutefois si, dans le système de franges, les composantes principales des deux raies sont en coïncidence, leur éclat surpasse de beaucoup celui des composantes secondaires, et, quoique ces dernières soient parfois bien visibles, le phénomène conserve une grande netteté. Au contraire, lorsqu'il v a discordance des radiations principales, les raies secondaires qui peuvent être superposées prennent une importance relative plus grande et peuvent compliquer le phénomène. Aussi utilisons-nous toujours, dans les déterminations des numéros d'ordre ou des longueurs d'onde, les deux raies jaunes, lorsque les franges qu'elles donnent sont en coïncidence. Les longueurs d'onde que nous allons déterminer se rapportent, pour chaque raie, à la composante principale.
» 2° Mesure des longueurs d'onde. — Les mesures se font par des observations identiques à celles qui nous servent à déterminer les numéros d'ordre; le calcul seul diffère un peu, parce que les longueurs d'onde des radiations du mercure sont à déterminer.
» Les anciennes mesures, faites au moven de réseaux, donnent de ces longueurs d'onde une première valeur approchée. Ces valeurs permettent de calculer les périodes des coïncidences des radiations à étudier, soit entre elles, soit avec les raies du cadmium. On pourra, par suite, calculer des Tables des coïncidences de ces diverses radiations, et ces Tables ne présenteront que des erreurs minimes, tant que le numéro d'ordre des franges n'atteindra qu'une valeur médiocre (quelques millieis, par exemple); d'autre part, les coïncidences des raies du cadmium entre elles peuvent
