C. R., 1898, I" Semestre. (T. CXXVI, N

Positions appaientes de la comète Coddingtoh.

Temps moyen Ascension Distance

Date de droite Log. fact. polaire Log. fact.

1898. Bordeaux. apparente. parallaxe. apparente. parallaxe.

Il m s 11 m s ...

Juin i5 10.15.34,93 16.12.19,99 —2,793 117.34.53,7 —0,926

» La comète est faible, mai.s elle a un noyau assez net, et la nébulosité est disposée en éventail. «

ASTRONOMIE PHYSIQUE. — Application des franges d'interférence, à grandes différences de marche, à félude des micromètres. Note de M. Maurick Hamy, présentée par M. Lœwy.

« Le dispositif employé dans mon Travail est le suivant : » Un petit miroir plan est installé sur le chariot du micromètre, normalement à l'axe de la vis, de façon que cet axe prolongé vienne passer par le centre du miroir. En regard est fixée, sur le corps du micromètre, une lentille dont la face tournée du côté du miroir a une très faible courbure. Le miroir est argenté à fond, la lentille demi-argentée. Lorsqu'on éclaire ce svstème avec de la lumière monochromatique émanant d'une petite ouverture située dans le plan focal antérieur de la lentille, il se produit des anneaux de Newton dans la jlame comprise entre les ,deux surfaces réfléchissantes; on les aperçoit en plaçant l'œil dans l'image réfléchie de

l'ouverture.

» La visibilité des anneaux, au centre, est—— — jtj'- lorsque l'ouverture éclairée

est un demi-cercle centré sur la perpendiculaire au miroir menée par le centre optique delà lentille (lA ravon de l'ouverture, c plus courte distance des surfaces réfléchissantes,

y lover de la lentille, ). longueur d'onde de la lumière employée). En prenant — assez

petit, on jieut donner à c des valeurs assez grandes sans que ce rapport cesse d'être voisin de 1; les anneaux restent donc parfaitement nets si la lumière emplovée est (dans mes recherches R = o""",5,/= 33o""") assez simple.

» L'étude de la vis niicrométrique, de dix en dix parties du tambour divisé, i)ar exemple, comprend plusieurs opérations.

» 1° Les surfaces réfléchissantes étant éclairées avec la radiation rouge du cadmium (l 64/|) fournie par un tube à vide ('), on compte le nombre d'anneaux qui naissent ou s'évanouissent lorsque l'on fait avancer le chariot d'une quantité correspondant à une rotation du tambour divisé de quelques parties. On en déduit une valeur approchée n du nombre d<; franges rouges contenues dans dix parties de la vis.

)) 2° On place le tambour divisé successivement à o',o, puis à o',to; à o'.o, puisào', 2o; à o',o, puisa o',3o, etc.; à o',o, puis ày/,o; à o',o, puis [\ p',\; etc., et à chaque position du tambour on mesure, avec un compensateur approprié, la phase au centre des anneaux pour la radiation rouge et pour trois autres radiations du cadmium, de longueurs d'ondes /', a", V", susceptibles de fournir des franges à grandes diHérences de marche (-). On en déduit, pour les quatre radiations considérées, les parties fractionnaires des nombres de franges contenues dans les intervalles o',o à o', lo, o',o à o',2o, etc.

» La méthode des excédents fractionnaires, qui a joué un rôle si important dans les mémorables recherches de M. Michelson sur la valeur du mètre en longueurs d'ondes lumineuses, permet ensuite de trouver les nombres entiers de franges rouges contenues dans ces intervalles.

» il ue sera pas inutile d'explitiuer brièveineot conimeut elle s'applique à l'exemple qui nous occupe.

» Appelons \ le noujbre entier inconnu de franges rouges contenues dans l'intervalle o',o à o',io,/ l'excédent fractionnaire mesuré pour celle radiation, et/',/",/ ' les excédents fractionnaires correspondant aux trois autres radiations. La valeur de rinlervalle considéré, exprimé en franges de longueur d'onde X, étant M -\-f, ses va-

( ') C'est à propos du présent Travail que j'ai été amené à imaginer la lanijje à cadmium, décrite dans les Comptes rendus (5 avril 1S97 ^' '7 janvier 1898).

(-) Pour ne pas donner au rapport -- une trop faible valeur, ce qui serait au détriment de l'éclat des anneaux, il convient d'étudier la vis par fractions ne dépassant pas 20°"". Dans ces conditions, les radiations du cadmium {Comptes rendus, 17 janvier 1898; p. 281), ).632, X538, À534, X5i5, X468, )-466 peuvent être utilisées. Les radiations X5o8 et ),48o ont l'avantage d'être très intenses, mais elles sont complexes et les anneaux changent d'aspect et se séparent en plusieurs systèmes dès que l'écartement des surfaces réfléchissantes atteint quelques millimètres (phénomène dû aux réflexions multiples, analogue à celui qui a été décrit récemment par MAL Fabrj et Ferot, dans le cas des anneaux transrais): il en résulte de grandes diflicultés pour mesurer les excédents fractionnaires.

leurs, expriniées en fr;uigus des trois autres radiations, sont

(I) (N+/)p, (iX+/)p' (N+/)p-

» Le nombre cherché N doit donc être tel que les parties fractionnaires de ces trois produits soient respectivement /',/",/'" à de petites erreurs d'observation près. On l'obtient en calculant les produits (i), en substituant à N le nombre n, fourni par la première opération, et les entiers voisins jusqu'à ce que l'on trouve un nombre qui produise l'accord voulu entre les parties fractionnaires calculées et les parties fractionnaires observées. La valeur de l'intervalle o',o à o', lO connu, on en déduit uue valeur approchée du nombre de franges rouges contenues dans l'intervalle o',o à o', 20 et l'on procède comme précédemment, pour en déterminer la valeur exacte et ainsi de suite.

)) Les nombres obtenus demandent quelques corrections dont l'une nolamment provient de ce que la coulisse du chariot niicrométrique n'est pas absolument droite. Cette correction est facile à déterminer d'après le déplacement du centre des anneaux.

» La valeur moyenne du tour de vis, exprimée en franges rouges, s'obtient en partant du plus grand intervalle mesuré. En calculant les autres intervalles en fonction de ce tour de vis moyen et compai-ant aux nombres trouvés directement, on obtient les corrections de la vis qu'il est facile d'exprimer en secondes d'arc, connaissant la longueur focale de la lunette à laquelle le micromètre appartient.

» L'iipjilication de la méthode au micromètre d'un instrument de l'Observatoire (foyer 1'", 10), construit sous la direction de Brunner, a montré que les corrections de la vis varient suivant le mode d'entraînement du tambour divisé (variations montant à sept franges, soit o", 5). Il faut, pour que les corrections soient bien définies, que l'action exercée sur la tète de vis se réduise rigoureusement à un couple d'axe parallèle à celui de la vis. Dans ces conditions, les nombres obtenus sont constants si l'on prend soin, au préalable, de déplacer plusieurs fois le chariot d'un bout à l'autre de sa course pour lubrifier également toutes les parties de la vis. Le moindre eflort sur la tète de vis suffit pour altérer les résultats; aussi a-t-il été nécessaire de faire tourner le tambour divisé, non pas à la main, mais par l'intermédiaire d'une pièce auxiliaire transformant eu un couple l'action exercée par l'observateur.

» Les lectures faites en faisant tourner le tambour dans les deux sens présentent une dillérence systématique d'une demi-frange, bien que le micromètre soit muni de ressorts antagonistes très forts. Cette dillérence

( '77^ ) n'affecte les observalious qu'a cause de la faible longueur focale de la lunette. »

GEOMETRIE. — Le groupe d'équivalence et ses bases cinéma/ iqucs. Note de M. Jules Axdrade.

" I. Dans une Note que j'ai eu l'honneur de présenter à l'Académie ('août 1897^ j'ai indiqué comment la noiion de svstèmes de vecteurs équivalents engendrait dune manière presque intuitive les propriétés métriques, dans les trois géométries d'Euclide, de Riemann et de Lobatchewsky. Quant à l'existence même du grotjpe d'équivalence, je m'étais contenté d'affirmer son évidente corrélation avec le théorème d'Euler sur les rotations finies. Je voudrais aujourd'hui revenir sur cette corrélation fondamentale qui est à mes yeux le point de passage entre ia géométrie qualitative et les trois géométries quantitatives, et essaver de la réduire à ses éléments les plus simples.

» 2. A cet efiet, j'enA isage, dans un ordre déterminé, plusieurs vecteurs D,, Do, . . ., D„, issus d'un même point O; je désigne par / une variable quelconque variant toujours dans le même sens; le premier vecteur définira une rotation continue et uniforme dont la vitesse à l'égard de t sera constante; imaginons qu'un espace S,, tournant autour de D, par rapport à l'espace S^. entraine avec lui unsvsléme invariable de vecteurs coïncidant a l'époque t avec les vecteurs D,, D^, . . ., D„, puisqu'un nouvel es[)ace Sj tourne uniformément, par rapport à S,, autour du vecteur qui a quitté Do,

entraînant avec lui les vecteurs de S, qui coïncidaient avec D3, D^ D„

à l'époque /, etc. ; les vitesses constantes de ces rotations successives sont supposées proportionnelles aux grandeurs des vecteurs D,, Do, . . ., D„; un tel mouvement est bien défini; nous le nommerons mouvement composé dea rotations successives D,, Do, . . ., D„ envisagées à l'époque /dans l'espace S„ et dans l'ordre où on les énonce. Je préciserai la notion de la continuité d'un mouvement composé par les postulats suivants :

)) Premier postulat. — La vitesse d'un point M, entraîné avec le dernier système invariable, à partir de la position Mp que ce pomt M occupait dans l'espace S^ à l'époque /, est déterminée dans ce mouvement, et sa grandeur varie d'une manière continue quand on se déplace dans le voisinage du point M.

» Deuxième postulat . — La distribution des vitesses des dilïérents points

( 177^ ) d'un solide invariable, entraîné avec le dernier espace S„, ne dépend que des vitesses de trois points donnés du solide non situes en ligne droite, et, en particulier, si ces trois vitesses sont nulles, les vitesses de tous les autres points du solide sont nulles aussi.

)) Troisième postulat. — D;ins une rotation uniforme, si l'on envisage l'ensemble des points M' voisins d'un point M et leurs mouvements entre les époques t et f + A/, les vitesses moyennes de tous ces points tendront uniformément vers les vitesses à l'époque t, lorsque A; tend vers zéro.

» On peut alors énoncer le tbéorème suivant :

)) Théobèmk. — Au point de vue de la distribution des vitesses à l'époque t, le mouviment composé peut se résoudre en une seule rotation résultante, celle-ci demeure la même pour tous les mouvements composés au moyen des mêmes recteurs et alors même que l'on change l'ordre de ceux-ci.

» La démonstration rigoureuse de cette proposition est assez délicate; il suffit ici de dire qu'elle repose sur les postulats qui précèdent et sur le lemme suivant, qui appartient à la Géométrie qualitative :

» Si dans un polygone sphétique on considère un ensemble spécial et infini de points, cet ensemble admettra au moins un point limite situé dans le polygone ou sur son contour.

» Ce lemme, les trois postulats et la construction d'Euler sur les rotations finies suffisent ainsi pour établir l'existence d'un mode de composition des vecteurs concourants, mode invariant, continu, commutatif, associatif et réductible à l'addition algébrique des segments dans le cas particulier oh les droites qui les portent coïncident.

» De plus, comme l'effet d'une rotation est essentiellement indépendant de la situation du vecteur qui la représente, du moins tant que ce vecteur ne fait que glisser sur la droite qui le porte, l'existence du groupe d'équivalence résulte alors nécessairement du groupe de composition. L'étude du groupe d'équivalence constitue la Statique de Poinsot généralisée, qui devient ainsi la base de la Géométrie quantitative.

» Seulement, tandis que le groupe de composition des vecteurs concourants ne comporte qu'une seule traduction analytique, savoir : les fonctions circulaires et la trigonométrie sphérique, le groupe d'équivalence admet trois traductions analytiques qui correspondent aux trois géométries deLobatchews]iy,d'Euclide etdeRiemann. J'ajoute que l'étude synthétique des trois modes d'existence de systèmes de vecteurs équivalents peut, elle aussi, conduire de la manière la plus simple aux nombres e et - et aux propriétés de la fonction exponentielle.

( '777 ) » 3. Cette genèse si simple des propriétés métriques a encore une conséquence intéressante que je tiens à signaler ici : elle réduit la notion <le l'équivalence des étendues à la notion de longueurs pour certaines catégories de courbes, en sorte que l'équivalence métrique se trouve ainsi dépendre tout naturellement de l'équiA-alence vectorielle ou statique. »

MÉCANIQUE. — Sur la stabilité de l'équilibre. Note de M. L. r/ECOR\c. présentée par M. Maurice Lévv.

« Je me suis proposé d'étudier, dans un cas assez étendu, les conditions de stabilité de l'équilibre d'un point malèriel sollicité par des forces sans potentiel. J'admets que les projections, sur trois axes rectansulaires, de la force appliquée soient des fonctions linéaires et homogènes des coordonnées : au AGisinage d'une position d'équilibre, les projections de la force sont généralement réductibles à des expressions de cette nature, au moins à titre de première approximation. Cela étant, il faut et il suffit, pour la stabilité, qu'il existe, autour de la position d'équilibre, O, prise pour origine, trois directions réelles pour chacune desquelles la force soit une attraction émanant de O. Ces trois directions ne sont orthogonales que si les forces ont un potentiel. Mais il existe trois autres directions, toujours réelles et orthogonales, qui se présentent naturellement dans cette théorie. On les obtient en cherchant le lieu des points pour lesquels la force est perpendiculaire au rayon vecteur, issu de l'origine : c'est un cône du second degré, réel ou imaginaire, dont les axes fournissent les trois directions dont je parle. En les prenant comme axes de coordonnées, on reconnaît que la force est la résultante de deux autres, savoir :

)) 1° Une force F, qui dérive d'un potentiel i( Ar- -i- B v'-f- Cr-') et dont les surfaces de niveau ont pour cône asvmptote commun le cône que nous venons de définir;

» 2° Une force tourbillonnaire F^, représentée par le même vecteur que la vitesse due à la rotation autour d'un certain axe OR.

» Quand la force F, est nulle, l'équilibre n'est stable, comme l'on sait, qu'autant que A, B, C sont trois coefficients positifs. Cette condition n'est plus nécessaire quand Fo diflère de zéro : deux des coefficients peuvent être négatifs sans que la stabilité soit rendue impossible; il suffit que la somme A -h B -f- C demeure positive. Mais, tandis qu'avec des coefficients tous positifs l'axe OR peut recevoir une direction quelconque, sa grandeur

seule étant assujettie à ne pas dépasser certaines limites, on trouve qu'avec un ou deux coefficients négatifs la direction de OR cesse d'être arbitraire : il faut qu'elle tombe à l'extérieur ou à l'intérieur du cône asymptote (toujours réel en pareil cas), suivant que le nombre des coefficients négatifs est égal à un ou à deux. Cela revient à dire que, pour les points situés sur OR, la puissance Aa:-^ -H By^-1- C s- par rapport au cône asymptote est toujours positive quand il v a stabilité. La même propriété a lieu pour chacune des trois directions réelles que j'ai définies en commençant. Quant à la longueur du vecteur OR, elle est soumise à des règles compliquées, et, pour une direction déterminée de ce vecteur, il peut arriver qu'en faisant croître continûment OR à partir de zéro on voie la stabilité disparaître une première fois, puis reparaître dans un certain intervalle.

» Supposons maintenant qu'on introduise une liaison, équivalant à la matérialisation d'une droite ou d'un plan fixe passant par O. Il faut se garder de croire que la liaison va laisser subsister dans tous les cas la stabilité de l'équilibre. S'il s'agit d'une droite, voici comment les choses se passent. Cette liaison annule l'efi'et de F^ et la force F, influe seule sur le mouvement recliligne. Si donc l'équilibre du point libre était stable sous la seule action de F, (c'est-à-dire si A, B, C sont positifs), l'équilibre sur la droite est stable. Mais si la stabilité du point libre n'était due qu'à l'action auxiliaire de Fa, la stabilité n'existe sur la droite qu'autant que les points de celle-ci ont, par rapport au cône asymptote, une puissance positive. On s'en rend compte en remarquant que telle est la condition pour que la projection de la force sur la droite soit attractive. Le cas d'une liaison représentée par un plan est moins facile à traiter : j'ai trouvé que, du moment où la force F, n'est pas nulle, il existe toujours (même avec des valeurs de A, B, C toutes positives), une infinité de plans pour lesquels l'équilibre est instable. Parmi eux figurent les plans cycliques des surfaces de niveau : \x- + Bj' -t- C^^ = const.

» M. Andrade (^Bulletin de la Société mathématique, 1S97) a déjà fait remarquer que rien n'autorise à admettre que, pour des forces dépourvues de potentiel, l'introduction de liaisons ne compromet pas la stabilité. Pour justifier cette réserve, il a cité un exemple dans lequel deux forces, fonctions de point toutes les deux, donnent séparément un équilibre stable, tandis que leur résultante produit un équilibre instable. Il était, je crois, intéressant de vérifier que la même chose a lieu effectivement quand on considère des forces de liaison, qui ne sont pas des fonctions de point. »

MÉCANIQUE. — Sur un appareil dit anémotrope. NoLc ile M. Maillet, présentée par M. Lippmann.

« Cet appareil est un moteur à vent, ou moulin à vent horizontal, c'està-dire mobile autour d'un axe vertical. Comme dans d'autres appareils du même genre, lèvent agit sur des palettes qui fonctionnent à la façon de soupapes restant verticales d'un côté de l'axe et cédant de l'autre côté à la pression du vent.

» Ce qui caractérise l'anémotrope, c'est que chaque palette motrice est mobile autour d'un axe horizontal, et que son poids est à peu près équilibré. Grâce à ce dispositif, chaque palette reprend périodiquement la position verticale sans choc. Au lieu d'y être ramenée par la poussée de l'air, elle y revient lentement par son propre poids, au fur et à mesure que la composante soulevante du vent devient insuffisante pour faire équilibre à l'action de la pesanteur. De là une grande douceur dans le fonctionnement. »

OPTIQUE. — Méthode pour la mesure optique de longueurs poM'unt atteindre plusieurs décimètres. Note de MM. A. Perot et Cu. Fabry, présentée par M. A. Cornu.

« La méthode que nous allons décrire permet de mesurer en longueurs d'onde, sans aucun pointeau microscope, une épaisseur donnée invariable, représentée par la dislance de surfaces planes et parallèles de verre argenté, et aussi, par différence, l'épaisseur d'un étalon matériel à faces polies et approximativement planes et parallèles. Cette méthode est basée sur l'emploi des franges de superposition ('), que nous allons rappeler.

M Soient deux lames d'air, d'épaisseurs e et e' , limitées toutes deux par des surfaces légèrement argentées. Un faisceau de lumière blanche traverse successivement ces deux lames. Si les épaisseurs satisfont presque

exactement à la relation -, =^ -, p el q étant des entiers, il peut v avoir in-

( ' ) Comptes rendus, t. CXXIII, p. 802, et Ann. de Chimie et de P/ivsique, 7" série, t. MI, p. 473; 1897.