C. R., 1898, :" Semestre. (T. CXWI, N» 26.) aSy
)) série (le cas, des conditions rigonreuses que doit remplir le déterminant I) » pour que l'équation i- — Dii^ = — i soit possible en nombres entiers)).
» Je cite aussi l'intéressant Mémoire cjue M. Cari Stormer a publié, en 1897, à Cbristiania, sous le titre : Quelques théorèmes sur VèquaLion de Pell et leurs applications, qui ont un but spécial.
» Les résultats que j'ai l'honneur de présenter aujourd'hui à l'Académie ont un autre caractère et n'empruntent rien aux travaux de MM. Richaud et Stormer, ni, que je sache, à aucun autre. Ils consistent en des formules algébriques telles que tous les nombres entiers qui y sont compris satisfont à l'équation précitée. A ce titre, et peut-être aussi par le tour nouveau des démonstrations, je les crois de nature à offrir quelque intérêt aux personnes qui cultivent cette branche des Mathématiques.
)) Théorème I. — L'équalion t" — Dm- =^ — i est résoluble en nombres entiers, toutes les fois que D est le carré d'un nombre impair, augmenté de l\, donc « D = 4^*'+ 4 'î + 5 (/2 = o, 1 , 2, 3 n, . . .).
» Démonstration. — Prenons pour /o/me initiale /„ = 1 1. 2n + i, — 4 |. dont le déterminant est 4"' -I- 4" + 5, et selon le procédé de Gauss, écrivons la suite des réduites, contiguës par leur dernière partie, en y joignant le Tableau des valeurs correspondantes de la quantité qu'il désigne par la lettre h et des coefficients tranformateurs a, p, y, %, savoir :
in +\,
n'+iin"-+ion 4-3)
I — (Sn-+Sn-
» Arrêtons-nous à celte cinquième réduite, qui reproduit im^ersement la forme iniliale (c'est-à-dire avec les mêmes termes, disposés dans le même ordre, mais avec un changement de signe dans les deux extrêmes), et remarquons que les réduites suivantes y,,, /,, /«, y„ ne sont autre chose, respectivement, que les inverses (par le changement de signes des termes extrêmes), savoir
|4. 2/< — I . — ('2n \in ■+- i , 2/1 —
àe/f, f.,, f,/,,, de telle sorte que la dixième /,„== | r, 2n verse dey^, reproduit la forme initiale.
I , — 4 I. in-
» Il s'ensuit que f^ est la réduite qui termine la première moitié de la période complète de Gauss, ou, si l'on suit les vues de Lagrange, celle qui, reproduisant la forme initiale avec les signes de ses deux termes extrêmes inversés, termine sa période à lui, telle qu'il l'emploie en y appliquant l'algorithme des fractions continues (moins commode d'ailleurs que l'algorithme dont Gauss fait usage). L'indice 5 est impair; la fraction convergente qui y correspond dans la méthode de Lagrange répond donc à la solution en nombres entiers de l'équation /-■— Dw- = — i (^Théorie des nombres, 3* édition, § V, p. 55). C'est aussi, comme on va le voir, ce que donne, dans la question présente, le procédé de Gauss, en lui faisant subir une légère extension (').
» Faisons, comme daus le cas où la période est complète et en prenant positivement les coefficients de a, S, y (ainsi, du reste, que Gauss le prescrit alors, Disq., 198), /, = - (Kj -+- Sj) et a, = —; nous aurons ici, à cause de a ^ I , puisque m est aussi égal à i ,
t , ^ ^n^ +-6n'--i- 6n -^2, w, = an- -+- 2«-i- i , avec D = /in- -\- ^n-h 5.
» Substituant ces valeurs dans l'équation t] — Dir^ = — i, on trouve qu'elle est satisfaite, car/'J = i6rt° + 48«'-l- 84/1^ + 88/i' + 6on-+ 24 « -4-4.
(') On pouvait s'attendre à rencontrer dans les deux méthodes une pareille confirmité de résultats, puisque les réduites de Gauss, contiguës par leur dernière partie, ne font en somme que reproduire les coefficients numériques des transformées de Lagrange, à la condition de lire de droite à gauche ces transformées, qui sont contiguës par leur première partie, d'y prendre la moitié du terme moyen, et d'y donner toujours le signe -(- à ce terme qui y est alternativement positif et négatif (*). Je dois dire toutefois que Gauss ne semble pas s'être occupé particulièrement de la solution de l'équation l- — D«* = — i.ll ne s'explique donc pas sur l'application qu'on y pourrait faire, pour obtenir les valeurs convenables de t et a, du procédé qu'il donne au n" 198 des Dis- (juisitiones pour résoudre l'équation l- — D«- = -i- m-. Je fais voir ici que les mêmes formules s'y adaptent aussi très bien, toutes les fois que la première moitié de la période complète se termine par une réduite inverse de la forme initiale [donc (— n, b, c) au lieu de {a, b, — c)], et que cette moitié se compose d'un nombre impair de termes, mais à la condition qu'on admette, à l'occasion, des valeurs fractionnaires de l et 11, que les théorèmes de la présente Communication ont d'ailleurs pour but d'éviter, dans les cas généraux qui y sont spécifiés.
( * ) C'est au P. Pépin que je dois cette remarque de la quasi-identité des transformées de Lagrange avec les réduites de Gauss dans le cas de D positif: remarque dont il m'a paru qu'on pouvait utilement tirer le parti qu'on va voir et qui constitue « l'extension du procédé de Gauss». dont je parle dans le texte.
et Dw'- donne les mêmes termes fonctions de n, avec -t- 5 pour le terme constant, au lieu de 4- h et m, sont les moindres valeurs de t et m; les valeurs conjuguées suivantes sont données par la formule ordinaire, bien connue.
» Le théorème est donc démontré d'une façon très simple. Néanmoins, j'en vais donner une seconde démonstration, parce que le procédé que j'y emploierai sera utile pour celle du théorème II.
)) Autre dctnonstration. — Prenons cette fois pour forme initiale
/„ = la, 2«'+ I, - 2|
(qui met encore mieux en évidence le fait que D est une somme de deux carrés), et écrivons la suite des formes contiguës, en poussant jusqu'à celle, f,, par laquelle recommence la deuxième période, composée cette fois de deux réduites seulement; nous aurons
2 rt + 1 , — 2
— (an + i)
» Laforme/", étant l'î^t'er^e de l'initiale /„, et terminant (avec l'indice impair i) la première demi-période de Gauss, c'est-à-dire la période de Lagrange, ne peut manquer de fournir une solution de l'équation proposée par
les valeurs de a,, S,, y, de a = 2 et de «2 = 1. On trouve ainsi / ~ — - — > « = - qui donnent, en effet, /' — D^ - - i; mais ces valeurs de / et u
ne sont pas des nombres entiers, ainsi que le requiert l'énoncé. Il faut donc aller jusqu'à f^,, dont l'indice est pareillement impair et qui est la deuxième apparition de l'inverse dey^. Prenant alors les valeurs de «3, 5^3, y^ données par le Tableau, on trouve
/ = l\Ti^ -\- 6n- -I- 6n + 2, n ■= "i-n^ -i- 2/* -t- 1 ;
c'est-à-dire les mêmes valeurs que par la première démonstration, et, par suite, la même conclusion.
» Il convient de remarquer qu'ici, où h est constamment égal à ±( 2/z 4- i) :
» Les valeurs numériques des coeflicients transformateurs sont celles
des termes d'une série récurrente ayant pour termes initiaux x = o, ^, = I, r, = 2« + I, et pour échelle de relation 2/i-!-i, + i, en sorte que
» 1° ^,v, ^ (an + 1)07, ■ + .r,,:
» 3° ot.r et Sr, de même indice quelconque r, sont de même parité, dès quer>i,de sorte que leur demi-somme arithmétique est toujours un nombre entier;
» 4° Les Y2r+i. de rang impair, sont toujours, dès que r> o, divisibles par 2, en sorte que - est toujours entier, puisque a = 2.
» De ces remarques il s'ensuit que l'équation i" — Dir = — i est indéfiniment satisfaite, en prenant simultanément : pour u, la moitié de la valeur d'un terme quelconque de rang impair (sauf a;,) de la série récurrente qui vient d'être définie; pour t, la demi-somme arithmétique des termes de rang pair, dont l'un précède et l'autre suit celui-là dans la même série.
» Théorème II. — Lorsque D = «-(«--h i), n étant un entier quelconque, l'équation t' — Da* = — i est résoluble en nombres entiers, à la condition qu'on prenne a égal: soit à l'un quelconque x-.i^^, premier ou non, des termes de rang impair d'une série récurrente ayant 0,1 et an pour termes initiaux, elin, -f- 1 pour échelle de relation ; soit à l'un des diviseurs de ce terme x.^i+i, s'il n'est pas premier.
» La démonstration étant semblable à la deuxième du théorème I, je ne la reproduirai pas. Les valeurs de i et « sont données : pour u par le quotient de la division du terme de rang impair jc^i^, qu'on aura choisi, divisé par celui de ses diviseurs qu'on aura pris pour valeur de a; pour /, par la demi-somme des termes de rangs pairs, dont l'un précède et l'autre suit celui-là.
» Comme application, voici deux exemples, dont le premier s'applique, pour n quelconque, an cas où l'on prend a ^=v^^= x.^.
» Les valeurs successives des six premiers termes de la série récurrente étant
et
in(in'-
étant x^
on a
( i842 ) d'où
/ = i [2/i(4/<" -+- 2.) -h '5i n^ -+- 32/î' 4- 6n] = iGri' -h 20//^ + jn, et
D = rr(/r + !■)=: 256ri'° + 640 «* + 560/1" -+- 200 «* + 25 «--h- i,
et comme t^ a précisément pour valeur le second membre de D, privé de son dernier terme r, il s'ensuit, à cause de ir = i, que l'équation
est satisfaite.
» Pour le second exemple, concernant la seconde partie de l'énoncé, nous supposerons que l'on prenne pour a, non plus la valeur même d'un terme de rang impair dans la série, mais l'un des diviseurs de ce terme.
» Il faut évidemment, dans ce cas, quitter le domaine de l'Algèbre pure, donner an une valeur numérique, telle que 7 par exemple, et choisir (au hasard) parmi les cc^i+i, l'un des termes qui ne sont pas premiers; la série numérique est, pour « = 7 :
00 = 0, .r, = 1, .-r, = i4i ^"3 = 197» a;,, = 2^.3-. 7.1 1, x^ = 5.29.269, a^o = 548842, etc.,
soit pris y5 = 5.29.2G9 el a = 269, l'un des diviseurs de a,, d'où
» = — = 5.20 = ili5 a ^ '
el t = ^(2772 + 548842) = 275807; le calcul donne
t'- — Dm- = 7G0G9 501249 — 7Go()9 5oi 25o ^ — r, etc. c. q. f. t.
» Remarque. — Si l'on fait « = i dans l'énoncé du théorème II, on obtient celui-ci, qui ne semble pas avoir été énoncé, sans doute à cause de son évidence, et qui néanmoins me paraît mériter d'être mentionné à côté du théorème I, dont il est, en quelque sorte, le précurseur ou le pendant :
» Le carre d'un nombre entier quelconque, augmenté de V unité, étant pris comme valeur de D, l'équation t^ — D«- = — i est résoluble.
( i«43 ) » Voici enfin un dernier ihêorème, négatif cette fois : » Théorème III. — Lorsque dans la formule D = «-(«- 4- i), n est un
multiple de a, V équation t- — Du" = — i est impossible.
» En effet, si /?. = ma (m =^ i , 2, 3, . .., m, .. .), les termes de la série
récurrente écrits plus haut deviennent
a- = o, u\ = I , a\. = ^ma, .r, = ^m'-a- -h i , a\i = Sm'^a'' ■+- '[ma, ... ;
on y voit que tous les ternies de rang pair sont divisibles par a, tandis que
ceux de rang impair, terminés par + i, ne le sont pas; donc '-^-^^ n'est
jamais entier; l'équation t^—Bu- = — i n'est donc pas résoluble en nombres entiers, et la seule possible est t'- — Du- = 4- t, qui l'est toujours, comme l'on sait, quelle que soit la valeur de D. »
ASTRONOMIE. — Sur la nouvelle comète Giacobini. Note de M. Perroti.\, présentée par M. Bischoffsheim.
« J'ai l'honneur d'adresser à l'Académie les éléments paraboliques provisoires de la comète découverte à Nice le 18 courant par M. Giacobini, et calculés par ce dernier avec les observations des 19, 21 et 23 juin : les observations du 19 et du 23 sont de ]M. Javelle, celle du 21 a été faite à Bamberg et nous a été télégraphiée par M. Rreutz, directeur du Centralstelle fur astronomische Télégramme, à Kiel.
Eléments :
T =: 1898 juillet 17, 890 temps moyen de Paris, o) = 16° 19', I j Q =278''2i',9 ( 1898,0 j = 166° 49') I 1
M Comme le mouvement apparent du 18 juin le laissait pressentir, l'inclinaison du plan de l'orbite sur celui de l'écliptique est peu considérable. Les éléments montrent en outre que le mouvement réel de la comète est rétrograde.
)> L'éclat de cet astre ne varie pas sensiblement. Son noyau, de 1 1" gran-
( 1844 ) deur environ, a de 6" à 7" de diamètre; il est entouré d'une faible nébulosité concentrique qui mesure 3o" tout au plus.
» La nouvelle comète, comme la précédente du même astronome, a été découverte à l'aide de l'équatorial coudé de M. Lœwv.
» M. Giacobini a calculé, avec les éléments ci-dessus, l'éphéméride approchée suivante pour i -2^', temps moyen de Paris :
1898. ]R. CB. ^i\ log. A.
Juillet 4 i6.'/i6°8 io8°.23' 7,769
» 8 15.59,8 io5.23 1,817
» i4 i5.io,9 101. 3i
» 16 14.59,0 100.28 TjqSo
Juillet 24 14.26,0 97-22 o,o35
1) Nota. — Sur notre demande, plusieurs observations de la comète nous ont été transmises obligeamment par MM. Stéphan, Baillaud et Gruey. Nous les aurions utilisées si le brouillard qui nous a empêché de la mesurer le 20 et le 21 avait persisté; elles nous ont permis néanmoins de contrôler celles de Nice, et nous les mettrons à profil dans une détermination ultérieure et plus précise des éléments de l'orbite. »
RAPPORTS
MÉCANIQUE. — Rapport sur un Mémoire de M. Lecornu, intitulé : « Sur l'équilibre d' une enveloppe ellipsoïdale soumise à une pression intérieure uniforme ».
(Commissaires : MM. G. Darboux; Maurice Lévy, rapporteur.)
■« Poisson a, le premier, mis en équation le problème de la recherche des tensions qui se produisent dans une surface matérielle supposée parfaitement flexible et inextensible, maintenue en équilibre |)ar des forces extérieures. Prenant, comme variables indépendantes, deux des trois coordonnées cartésiennes d'un point de la surface, il a montré, en appliquant les équations d'équilibre intérieur auxquelles il était parvenu en même temps que Cauchy, que les trois tensions inconnues à déterminer en chaque
point de la surface donnée sont liées, entre elles, d'abord par une équation linéaire qui permet d'éliminer immédiatement l'une d'elles, puis par deux équations à dérivées partielles du premier ordre également linéaires, de sorte que la recherche de toutes les tensions est ramenée à l'intégration de deux pareilles équations, ou, si l'on veut, à l'intégration d'une seule équation linéaire à dérivées partielles du second ordre.
» Les équations de Poisson sont de forme très simple; son Analyse est assez laborieuse. Lamé lui a donné une forme intuitive qui rend le résultat immédiat. Mais il n'en tire aucune conséquence nouvelle.
» La question a été reprise, en 1880, par M, Lecornu dans un Mémoire publié au Journal de l'École Polytechnique, puis, un peu plus tard, en 1882, par Beltrami dans les Mémoires de l'Institut de Bologne, et enfin, en 1886, bien qu'à un point de \Tje plus géométrique que mécanique, par Weingarten au Journal de Crelle.
» M. Lecornu, dans son Mémoire de 1880, a établi les équations d'équilibre corrélatives de celles de Poisson, mais en rapportant la surface à uu réseau de lignes orthogonales tracées sur elle. Il a démontré cette proposition fondamentale dans la matière : Les équations qui régissent les deux forces élastiques normales et la force élastique tangentielle qui s'exercent sur les éléments des deux courbes coordonnées passant par chaque point d'une surface, dans le cas où elle n'est soumise à aucune force extérieure, sont identiques à celles qui régissent les variations q u éprouveraient les courbures normales et la torsion géodésique de ces mêmes éléments, par une déformation infiniment petite de la surface. S'il y a des forces extérieures, les équations restent les mêmes, sauf addition de seconds membres connus.
» M. Lecornu a fait cette autre remarque, conséquence de la précédente et qui ressort bien aussi des équations de Poisson : que les caractéristiques de l'équation du second ordre à laquelle se ramène le problème sont les lignes asymptotiques de la surface considérée.
» Le problème de Statique relatif à l.i recherche des tensions d'une surface en équilibre se trouve ainsi ramené au problème purement géométrique de la déformation infiniment petite de cette surface supposée inextensible, problème que M. Darboux a traité, avec une grande ampleur, dans le 4*^ Volume de ses Leçons sur la Théorie des surfaces et auquel il a rattaché, outre ses propres recherches, remontant à une Communication orale faite en 1873 à la Société Mathématique de France, celles de MM. Moutard et Ribaucour sur les couples de surfaces applicables l'une
