C. R., i8y8, "Semestre. (T. CXXVI, N" 26 ) -j

sur l'autre que l'on obtient dans l'étude des surfaces à correspondance ponctuelle telle que deux éléments correspondants soient rectangulaires.

» Mais, en Mécanique, il ne suffit pas d'intégrer des équations différentielles, il faut déterminer les arbitraires introduites par l'intégration. Or, cette détermination, en ce qui touche les tensions d'une surface en équilibre, est le plus souvent impossible, faute de données suffisantes, tant qu'on suppose la surface inextensible. Ainsi, les tensions d'une calotte superficielle limitée par un bord fixe sont indéterminées tant qu'on ne suppose pas la surface élastique, c'est-à-dire extensible. Mais que deviennent les fonctions arbitraires entrant dans les équations intégrales, lorsque la surface en équilibre est fermée et que, par suite, il n'y a plus de condition au pourtour à remplir?

» Dans son Mémoire de 1880, M. Lecornu a montré que, pour un ellipsoïde de révolution, les fonctions arbitraires sont entièrement déterminées par la seule condition imposée aux tensions inconnues de rester finies sur toute la surface.

» Le premier et principal objet du Mémoire actuel du même auteur est d'étendre cette proposition au cas plus complexe d'une surface ellipsoïdale quelconque.

» On pourrait être tenté de mettre en doute l'intérêt d'une pareille démonstration pour une surface aussi particulière que l'ellipsoïde et penser que le mode d'équilibre d'une surface fermée quelconque doit être unique.

» Rien n'est moins évident, a priori, lorsque la surface est supposée inextensible et même la proposition n'est vraisemblable que pour les surfaces fermées convexes. Pour celles-ci, il semble qu'on puisse, en effet, l'établir en mettant à profit le rapprochement entre l'équilibre et la déformation infiniment petite, établi, comme nous l'avons dit plus haut, par M. Lecornu lui-même. Voici le raisonnement qu'on pourrait tenir :

» Les équations d'équilibre étant linéaires, il suffit, pour établir qu'un seul système de tensions répond à un système de forces extérieures données, de prouver qu'à des forces extérieures nulles ne peuvent correspondre que des tensions elles-mêmes nulles. Or, en l'absence de forces extérieures, les tensions, nous l'avons vu, sont proportionnelles aux variations de courbure résultant d'une déformation infiniment petite de la surface. Si donc on admet comme prouvé qu'une surface fermée convexe est indéformable, la proposition est établie.

» Mais l'indéformabilité d'une surface fermée convexe n'a pas été dé-

( '«'.7 ) montrée par voie directe. On sait, d'après Cauchv, qn'iinc snrface polyédrale convexe, dont les faces sont snpposées rigides, est indéformable. On en conclut, par voie de limite, qu'il doit en être de même pour une surface fermée convexe. Mais une démonstration directe de la proposition ne serait pas inutile et offrirait sans doute de grandes difficultés à cause des restrictions que comporte la proposition : il faut que la surface soit convexe, il faut que la déformation se fasse sans plis, sans arêtes vives, sans changements brusques dans les courbures, toutes conditions qui doivent rendre une démonstration analytique fort délicate.

» Profitant toujours, mais en sens inverse, de l'identité entre le problème de Statique et le problème de Géométrie, on pourrait être tenté de recourir à quelque méthode analogue à celle par laquelle Dirichlet établit l'unité de solution des problèmes de l'équilibre de température et de l'équilibre élastique pour les corps à trois dimensions. Mais là il n'y a pas ces restrictions dont nous venons de parler, eu sorte que la méthode, qui réussit là, ne réussirait sans doute pas ici.

» Ces considérations montrent que le problème, si particulier soit-il, que s'est proposé M. Lecornu a son intérêt, et la marche qu'il a suivie pour le résoudre en offre elle-même.

» Rapportant rellipsoïde à ses lignes de courbure, il n'a eu qu'à faire application de son Mémoire de 1880 pour trouver les équations qui régissent les trois tensions inconnues à déterminer en chaque point. Puis il a fait un changement de variables qui revient à rapporter provisoirement la surface à ses deux systèmes de génératrices rectilignes imaginaires. Il a pu combiner les équations ainsi obtenues de façon à n'avoir dans chacune d'elles qu'une seule inconnue et qu'en outre cette inconnue n'entre dans l'équation que par elle-même et une seule de ses dérivées partielles. Le problème s'est trouvé ainsi ramené à l'intégration d'une équation différentielle ordinaire et linéaire, c'est-à-dire à une quadrature, en remplaçant la constante d'intégration par une fonction arbitraire de celle des variables relativement à laquelle la dérivée de l'inconnue n'intervient pas.

» L'une des équations différentielles étant intégrée, l'autre s'ensuit par échange de lettres et, avec la relation en termes finis qui existe entre les trois tensions, toutes les inconnues sont obtenues à l'aide de deux fonctions arbitraires dépendant chacune d'un argument complexe.

» Cette simplification très grande d'un système d'équations qui, rapporté aux lignes de courbure, se présentait assez compliqué, s'explique si

( i848 ) l'on continue à ne pas perdre de vue l'idenlilé du problème avec celui de la déformation infiniment petite de la surface envisagée. On sait, en effet, que toute surface réglée peut se déformer en restant réglée; la déformation ne dépend alors que d'un paramètre et, par suite, d'une équation différentielle ordinaire. Si la déformation est infiniment petite, cette équation différentielle est linéaire, n'exigeant, par suite, qu'une quadrature. Si l'on applique ce résultat successivement aux deux systèmes de génératrices de rellij)soïde et qu'on superpose les deux déformations infinitésimales qui en résultent, on obtient, et c'est là une remarque faite par M. Darboux dans ses Leçons sur la Théorie des surfaces, la déformation infinitésimale la plus générale de la surface. C'est l'équivalent de ces équations que M. Lecornu a obtenu par son analyse et c'est ce qui en explique le succès sans en amoindrir la valeur.

» La quadrature à laquelle il est amené est de celles que l'on peut faire; mais elle exige des calculs que M. Lecornu a jugés inabordables par voie directe. Il a appelé à son aide quelques propriétés des transcendantes elliptiques de Jacobi, bien que ces transcendantes doivent disparaître en dernière analvse, pour faire place à des expressions algébriques et réelles par le retour aux coordonnées elliptiques. Il particularise d'abord la fonction arbitraire introduite par la quadrature, de façon que l'expression intégrée reste finie sur toute la surface de l'ellipsoïde. Il s'ensuit que la fonction arbitraire à y ajouter doit elle-même rester finie pour qu'il en soit de même des tensions. Or, la variable imaginaire dont dépend cette fonction peut prendre toutes les valeurs possibles sur la surface de l'ellipsoïde. La fonction arbitraire uniforme et continue par la nature des choses est donc telle qu'elle ne puisse devenir infinie pour aucune valeur de sa variable. Il en résulte qu'elle se réduit à une constante, et comme il y a sur l'ellipsoïde des points pour lesquels cette constante est nulle, il s'ensuit qu'elle est identiquement nulle, et ainsi les expressions obtenues sont complètement déterminées. En revenant aux coordonnées elliptiques, elles prennent une forme algébrique très simple et très symétrique.

» M. Lecornu discute les résultats obtenus; il montre comment varient les tensions sur une ligne de courbure, en particulier sur les sections principales de l'ellipsoïde. Il détermine le réseau orthogonal formé par les lignes isostatiques, c'est-à-dire celles qui ne supportent que des tensions normales appelées par Lamé les forces principales. Ces lignes, en raison de leur orthogonalilé même, rappellent jusqu'à un certain point

( i«49 ) les lignes de courbure. Les points particuliers, pour lesquels les deux tensions principales sont égales, possèdent nécessairement cette propriété que tous les éléments linéaires qui v passent ne supportent que des tensions normales et égales entre elles. Ils rappellent les ombilics et M. Lecornu les appelle les ombilics mécaniques.

» A l'aide d'une ingénieuse représentation sur le plan, M. Lecornu se rend compte de l'allure générale des lignes isostatiques et établit quelques rapprochements entre elles et les lignes de courbure.

» En résumé, le travail de M. Lecornu constitue un exercice intéressant par la discussion complète à laquelle il se prête. Il montre, ])ar un exemple précis, le lien étroit, découvert précédemment par l'auteur, qui existe entre le problème de l'équilibre intérieur d'une surface et celui de sa déformation infiniment petite. La Commission a, en conséquence, l'honneur d'en proposer l'insertion au Recueil des Savants étrangers,, bien qu'il soit à sa connaissance que l'auteur le destine à un autre Recueil. »

Les conclusions du Rapport sont mises aux voix et adoptées.

MEMOIRES PRESENTES

M. J.-E. Bachelet adresse une Note intitulée : « Stoppeur automatique rendant impossible la collision des trains ».

(Renvoi à la Section de Mécanique.)

M. S. PiLLSBCRY adresse une Note sur « Une méthode de traitement de la tuberculose ».

(Renvoi au Concours des prix de Médecine et Chirurgie. )

M. Bergeaud soumet au jugement de l'Académie un Mémoire ayant pour titre : « Entomologie intertropicale. Particularités sur les mœurs de quelques insectes ».

(Commissaires : MM. Milne-Edwards, Perrier. )

M. WiLLOT adresse un Mémoire « Sur la destructioa des Nématodes cl de tous les insectes qui se trouvent dans le sol, le phylloxéra compris ».

(Commissaires : MM. Chatin, Schlœsing, Dehérain, Perrier et Mûntz.)

CORRESPONDANCE

M. le Secrétaire perpétuel annonce à l'Académie la perte que la Science vient de faire dans la personne de M. Paul Serret, décédé à Paris le 24 juin 1898.

M. le Secrétaire perpétuel signale, parmi les pièces imprimées de la Correspondance :

Un Ouvrage intitulé : « Recueil de données numériques publié par jla Société française de Physique. — Optique, par M. //. Dufel. Premier fascicule : Longueurs d'onde, indices des gaz et des liquides ». (Présenté par M. Wolf. )

Un Ouvrage de M. Emile ^ore/ ayant pour titre : « Leçons sur la théorie des fonctions ». (Présenté par M. Darboux.)

ASTRONOMIE. — Obsenations de la comète Coddington, faites à V observatoire d'Alger, à l'équatorial de 0'°, 188; par MM. Cii. Trépied et J. Renacx,

présentées par M. Lœwy.

Comète — Étoile.

Étoiles

Nombre

Dates

Ascension

comparaison.

Grandeur.

droite.

Déclinaison.

comparaisons.

Obs

in i4-.

a Cordoba n° 962

Si-

b Cordoba n" 981

c Cordoba n" 449

f/ Cordoba n°425

C Cordoba n" 119

iS. .

Posilionx des étoiles de comparaison.

Asc. droite

Déclinaison

Dates.

moyenne

Réduction

moyenne

Réduction

au jour.

Aulorilés.

Juin i4.

Il m s 16. l5. 2,23

Zones de Cordoba

Positions apparentes de la comète.

.Temps

Ascension

Dates.

moyen

droite

Log. fact.

Déclinaison

Log. fact.

d'Alger.

apparente.

paralla\o.

apparente.

parallaxe.

Obs

ili i4

» Juin 16. — La comète se présente sous la forme d'une nébulosité arrondie de 3' environ de diamètre avec un noyau central dont Téclat est comparable à celui d'une étoile de la grandeur 9,5. L'ascension droite et la déclinaison du novau paraissent un peu plus faibles que celles du centre de la nébulosité.

» Les comparaisons se rapportent au novau. »

ASTRONOMIE. — Eléments de la comète Giacobini. Note de M. I. Lagarde, présentée par M. Lœwy.

« J'ai déduit les éléments qui suivent des observations faites à Paris les 19 et 21 juin par M. Bigourdan et le l'i juin par 31. Favet. Les calculs ont tous été faits avec cinq décimales et les observations ont été, préalablement, corrigées de la parallaxe et de l'aberration, au moyen des données déduites des éléments calculés par ftl. Kreutz.

Temps du passage au périhélie, 1898, juillet 26, loaS, temps mojen de Paris.

Longitude du périhélie 3oi.i3.45 1 Ecliptique

Longitude du nœud 278. 17.21 \ et équinoxe moyens

Inclinaison 166. 5i . 17 ; de 1898,0.

Logarithme de la distance du périhélie o, 17636

Représentation du lieu moyen :

cos'^.dl H-3"

GÉOMÉTRIE INFINITÉSIMALE. — Détermination d'une surface par ses deux formes quadratiques fondamentales . Note de M. L. Raffy. (Extrait d'une lettre à M. G. Darboux.)

« Le problème qui consiste à déterminer une surface, connaissant son élément linéaire E du- -\- iY du dv -{- G dv'- et la forme quadratique invariante t du^ -\- iV du dv -\- V' dv- , qui égalée à zéro définit les lignes asymptotiques, est un de ceux auxquels on se trouve le plus souvent ramené. La remarquable méthode du Irièdre mobile, que vous développez au t. I de vos Leçons, ne s'appliquant pas immédiatement au cas général où la surface est rapportée à des coordonnées curvilignes obliques, vous trouverez peutêtre quelque intérêt à la suivante, qui revient à déterminer seulement, mais à la fois, les cosinus directeurs a, h, c de la normale à la surface.

» Des deux relations de Gauss

H-«;,= (;F<V - GS)a-; + (Fâ - E<V)x;„

h-«;,= (fS"-gS')a^;,+ (fS'— ES")ir;„

du ~

Fo'

— Eo"

da Eo'-

du "^ 83"-

-F8 da

-0'^ di'

dJ'

di' "

da F8'-

- G3 da

-3'^ dv

et qui se réduisent à celles d'Olinde Rodrigues pour F = ^'=o. Elles montrent qu'il suffit de connaître a, b, c pour obtenir x, y, z par l'intégration de trois différentielles exactes.

» Or, connaissant E, F, G, <), (V, <V', on connaît par là même l'élément

( i853 ) linéaire dr:'- de la représenlation sphérique du réseau («, v), et l'on a a- -f- h- -1- c- = I , (h"" = da" -t- '//>= + f/c- = E' du- + 2 F' ^/m di- + G' f/r' ,

relations que l'on peut remplacer par le système équivalent

I — a3 , . n- aS oc 4- 3 a = ^, b = i £, f= C,

E' <^/»'- + 2F' du dv -H G' di'-.

■'(a-8) » Désignant par H'^ le discriminant E'G — F -, nous poserons

f 20?^ = e-'(x - S )U'E'r/« + ^ ~J.^' dv

» Les conditions d'intégrabilité de ces deux expressions difïérentielles reviennent aux deux suivantes :

7=r A- -+- lil (e'+e^') -h 2-^ 2-3- -— =0,

^/R' 011 ^ ' dv au ^/Ë'

2iH''î^- ^^[(F'+/H')e'+(F'-m')^'-n-F'^'-^=o.

» Ce sont là deux équations de Riccati, relativement à la fonction e' . Elles s'accordent (en vertu de la condition qui exprime que la courbure totale de da- est égale à l'unité) pour définir une fonction e' dépendant d'une constante arbitraire.

» Une fois ces équations intégrées, l'expression

d.-d^ ,l\ ,-^ , , , F' + .H' , ,\ .f^^, ... , F' - iW

= e' ( v'Ë^ du + ^-^ dA - e-' ( V Ë' du + ^-=^ dA

est une différentielle exacte, en vertu des conditions que vérifie e'. On connaît donc la fonction a — p, à un facteur constant près. Il suffit de la substituer dans l'une des équations (i) pour déterminer a et ,S, qui dépendront visiblement de trois constantes. Le rôle de ces arbitraires est bien connu. On sait qu'on peut leur assigner des valeurs déterminées.

» J'ai fait quelques applications de cette méthode, notamment au cas où la sphère est rapportée à une famille de géodésiques et à leurs trajectoires